Question

（2012•湖北）如图，双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的两顶点为A₁，A₂，虚轴两端点为B₁，B₂，两焦点为F₁，F₂．若以A₁A₂为直径的圆内切于菱形F₁B₁F₂B₂，切点分别为A，B，C，D．则：
（Ⅰ）双曲线的离心率e=

5 +1

2

；
（Ⅱ）菱形F₁B₁F₂B₂的面积S₁与矩形ABCD的面积S₂的比值

S1

S2

=

5 +2

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直线B₂F₁的方程为bx-cy+bc=0，所以O到直线的距离为

|bc|

b2+c2

，根据以A₁A₂为直径的圆内切于菱形F₁B₁F₂B₂，可得

|bc|

b2+c2

=a，由此可求双曲线的离心率；
（Ⅱ）菱形F₁B₁F₂B₂的面积S₁=2bc，求出矩形ABCD的长与宽，从而求出面积S₂=4mn=

4a2bc

b2+c2

，由此可得结论．

解答：解：（Ⅰ）直线B₂F₁的方程为bx-cy+bc=0，所以O到直线的距离为

|bc|

b2+c2

∵以A₁A₂为直径的圆内切于菱形F₁B₁F₂B₂，
∴

|bc|

b2+c2

=a
∴（c²-a²）c²=（2c²-a²）a²
∴c⁴-3a²c²+a⁴=0
∴e⁴-3e²+1=0
∵e＞1
∴e=

5 +1

2

（Ⅱ）菱形F₁B₁F₂B₂的面积S₁=2bc
设矩形ABCD，BC=2m，BA=2n，∴

m

n

=

c

b

∵m²+n²=a²，∴m=

ac

b2+c2

，n=

ab

b2+c2

∴面积S₂=4mn=

4a2bc

b2+c2

∴

S1

S2

=

b2+c2

2a2

=

b2+c2

2bc

∵bc=a²=c²-b²
∴b=

-1+ 5

2

c
∴

S1

S2

=

5 +2

2

故答案为：

5 +1

2

，

5 +2

2

点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查双曲线的性质，面积的计算，解题的关键是确定几何量之间的关系．