Question

【题目】已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）若存在x0∈[ ，e]（e是自然对数的底数，e=2.71828…），使不等式2f（x0）≥g（x0）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知知函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+1，

当x∈（0， ），f′（x）＜0，f（x）单调递减，

当x∈（ ），f′（x）＞0，f（x）单调递增，

∵t＞0，∴t+2＞

② 当0＜t＜ ＜t+2，即0＜t＜ 时，f（x）min=f（ ）=﹣ ；

②当 ，即t 时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）min=f（t）=tlnt．

∴ ．

（2）解：∵不等式2f（x0）≥g（x0）成立，即2x0lnx0≥﹣ ，

∴a≤2lnx+x+ ，x∈[ ，e]，

设h（x）=2lnx+x+ ，x∈[ ，e]，

则 ，x∈[ ，e]，

①x∈[ ，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，

②x∈（1，e]时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，

∴h（x）max=h（ ）=﹣2+ ，对一切x0∈[ ，e]使不等式2f（x0）≥g（x0）成立，

∴a≤h（x）max=﹣2+ +3e．

【解析】（1）由已知知函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+1，由此利用导数性质能求出函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值．（2）由已知得a≤2lnx+x+ ，x∈[ ，e]，设h（x）=2lnx+x+ ，x∈[ ，e]，则 ，x∈[ ，e]，由此利用导数性质能求出实数a的取值
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．