Question

9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n•3ⁿ （n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）首先根据递推关系式a_n=S_n-S_n-1（n≥2），当n=1时，a₁=S₁，求出数列a_n的通项公式；
（2）根据（1）的结论，求出新数列的通项公式，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的前n项和．

解答 解：（1）数列{a_n}的前n项和为S_n且S_n=n²+n，n∈N^*，
则a_n=S_n-S_n-1（n≥2），
=n²+n-（n-1）²-（n-1）
=2n，
当n=1时，a₁=2符合通项公式，
所以a_n=2n；
（2）由（1）得：设b_n=a_n•3ⁿ=2n•3ⁿ，
则：T_n=b₁+b₂+…+b_n=2•3+4•3²+…+2n•3ⁿ①，
3T_n=2•3²+4•3³+…+2n•3ⁿ⁺¹②，
①-②得：-2T_n=2（3+3²+3³+…+3ⁿ）-2n•3ⁿ⁺¹
=2•$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-2n•3ⁿ⁺¹，
整理得：T_n=（n-$\frac{1}{2}$）•3ⁿ⁺¹+$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查的知识要点：等差与等比数列通项公式的求法，乘公比错位相减法的应用．属于中档题．