Question

已知函数f（x）=（1+cotx）sin²x-2sin（x+

π

4

）sin（x-

π

4

）．
（1）若tanα=2，求f（α）；
（2）若x∈[

π

12

，

π

2

]，求f（x）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用正切化为正弦、余弦，利用两角和与差的三角函数展开，二倍角公式的应用化为

1

2

(sin2x+cos2x)+

1

2

，通过tanα=2，求出sin2α，cos2α，然后求出f（α）；
（2）化简函数为：f(x)=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

，由x∈[

π

12

，

π

12

]，求出2x+

π

4

的范围，然后求f（x）的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=（1+cotx）sin²x-2sin（x+

π

4

）sin（x-

π

4

）=sin²x+sinxcosx+cos2x
=

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x+cos2x=

1

2

(sin2x+cos2x)+

1

2

∵tanα=2，∴sin2α=2sinαcosα=

2sinα•cosα

sin 2α+cos 2α

=

2tanα

1+tan 2α

=

4

5

，
cos2α=cos 2α-sin 2α=

cos 2α-sin 2α

cos  2α+sin 2α

=

1-tan 2α

1+tan 2α

=-

3

5

=

1

2

(sin2x+cos2x)+

1

2

由tanα=2得sin2α=

2sinαcosα

sin2α+cos2α

=

2tanα

1+tan2α

=

4

5

，
cos2α=

cos2α-sin2a

sin2α +cos2a

=

1-tan2α

1+tan2α

=-

3

5

，
所以f(α)=

3

5

．
（2）由（1）得f(x)=

1

2

(sin2x+cos2x)+

1

2

=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

由x∈[

π

12

，

π

2

]得2x+

π

4

∈[

5π

12

，

5π

4

]，所以sin(2x+

π

4

)∈[-

2

2

，1]
从而f(x)=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

∈[0，

1+ 2

2

]．

点评：三角函数的化简，包括降幂扩角公式、辅助角公式都是高考考查的重点内容，另外对于三角函数的化简到最简形式一定要求掌握．熟练利用正余弦函数的图象求形如y=Asin（ωx+φ）性质．