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【题目】如图,三棱柱中,M,N分别为的中点.

(1)证明:直线MN//平面CAB1

(2)若四边形ABB1A1是菱形,且 ,求平面和平面所成的角(锐角)的余弦值.

【答案】(1)见解析;(2)余弦值为.

【解析】试题分析:

(1)由题意结合几何关系可证得利用线面平行的判定定理可证得直线MN//平面CAB1

(2)结合几何体的特征建立空间直角坐标系,利用半平面的法向量可求得平面和平面所成的角(锐角)的余弦值为.

试题解析:

(1)设交于点,连接

因为四边形是平行四边形,所以是的中点,

的中点,所以.

又因为的中点,所以.

所以,所以四边形是平行四边形,

所以.

又因为平面平面

所以直线平面.

(2)因为平行四边形是菱形,所以.

又因为,所以.又的中点,所以.又因为,所以,所以,故,从而两两垂直. 以为坐标原点,所在直线分别为轴建立如图空间直角坐标系

因为两两垂直,所以平面

所以是平面的一个法向量;

是平面的一个法向量,则,即

,得,所以

所以

所以平面和平面所成的角(锐角)的余弦值为

练习册系列答案
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3)已知函数的定义域为,对任意,若,有恒成立,则称上是单射,已知函数上封闭且单射,并且满足 ,其中),,证明:存在的真子集,

,使得在所有)上封闭.

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【题目】近年来,我国“雾霾天气”频发,严重影响人们的身体健康.根据空气质量指数API(为整数)的不同,可将空气质量分级如下表:

API

0~50

51~100

101~150

151~200

201~250

251~300

>300

级别

1

2

1

2

状况

轻微污染

轻度污染

中度污染

中度重污染

重度污染

对某城市一年(365天)的空气质量进行监测,获得的API数据按照区间[0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]进行分组,得到频率分布直方图如图.

(1)求频率分布直方图中x的值;

(2)计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数.

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1证明:平面平面

2若直线与平面所成的角为求二面角

的余弦值.

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)点在棱上,试确定点的位置,使得平面;

)求二面角的余弦值.

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【题目】今有一组数据如下表:

1

2

3

4

5

6

4

5

6

7

8

9

90

84

83

m

75

68

由最小二乘法求得点 的回归直线方程是,其中.

(Ⅰ)求m的值,并求回归直线方程;

(Ⅱ)设,我们称为点的残差,记为.

从所给的点 中任取两个,求其中有且只有一个点的残差绝对值不大于1的概率.

参考公式: .

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