【题目】如图,三棱柱中,M,N分别为的中点.
(1)证明:直线MN//平面CAB1;
(2)若四边形ABB1A1是菱形,且, ,求平面和平面所成的角(锐角)的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)余弦值为.
【解析】试题分析:
(1)由题意结合几何关系可证得,利用线面平行的判定定理可证得直线MN//平面CAB1;
(2)结合几何体的特征建立空间直角坐标系,利用半平面的法向量可求得平面和平面所成的角(锐角)的余弦值为.
试题解析:
(1)设与交于点,连接,
因为四边形是平行四边形,所以是是的中点,
是的中点,所以.
又因为是的中点,所以.
所以,所以四边形是平行四边形,
所以.
又因为平面,平面,
所以直线平面.
(2)因为平行四边形是菱形,所以.
又因为,所以.又且是的中点,所以.又因为,所以≌,所以,故,从而两两垂直. 以为坐标原点,所在直线分别为轴建立如图空间直角坐标系,
则, ,
,
因为两两垂直,所以平面,
所以是平面的一个法向量;
设是平面的一个法向量,则,即,
令,得,所以
所以
所以平面和平面所成的角(锐角)的余弦值为
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【题目】数列为递增的等比数列, ,
数列满足.
(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)求证: 是等差数列;
(Ⅲ)设数列满足,且数列的前项和,并求使得对任意都成立的正整数的最小值.
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【题目】已知椭圆过点,过右焦点且垂直于轴的直线截椭圆所得弦长是1.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设点分别是椭圆的左,右顶点,过点的直线与椭圆交于两点(与不重合),证明:直线和直线交点的横坐标为定值.
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【题目】已知函数的定义域为,值域为,即,若,则称在上封闭.
(1)分别判断函数, 在上是否封闭,说明理由;
(2)函数的定义域为,且存在反函数,若函数在上封闭,且函数在上也封闭,求实数的取值范围;
(3)已知函数的定义域为,对任意,若,有恒成立,则称在上是单射,已知函数在上封闭且单射,并且满足 ,其中(),,证明:存在的真子集,
,使得在所有()上封闭.
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【题目】在极坐标系中,点M的坐标为,曲线C的方程为;以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,斜率为的直线l经过点M.
(I)求直线l和曲线C的直角坐标方程:
(II)若P为曲线C上任意一点,直线l和曲线C相交于A,B两点,求△PAB面积的最大值.
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【题目】近年来,我国“雾霾天气”频发,严重影响人们的身体健康.根据空气质量指数API(为整数)的不同,可将空气质量分级如下表:
API | 0~50 | 51~100 | 101~150 | 151~200 | 201~250 | 251~300 | >300 |
级别 | Ⅰ | Ⅱ | Ⅲ1 | Ⅲ2 | Ⅳ1 | Ⅳ2 | Ⅴ |
状况 | 优 | 良 | 轻微污染 | 轻度污染 | 中度污染 | 中度重污染 | 重度污染 |
对某城市一年(365天)的空气质量进行监测,获得的API数据按照区间[0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]进行分组,得到频率分布直方图如图.
(1)求频率分布直方图中x的值;
(2)计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数.
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