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已知正项数列{an}中a1=
1
2
,函数f(x)=
2x
1+x

(Ⅰ)若正项数列{an}满足an+1=f(an)(n≥1且n∈N*),试求出a2,a3,a4.由此归纳出通项an,并证明;
(Ⅱ)若正项数列{an}满足an+1≤f(an)(n≥1且n∈N*),数列{bn}满足bn=
an
2n+1
,其和为Tn,求证:Tn
1
2
-
1
1+2n
分析:(I)由递推公式,求出前四项,从而由归纳推理,猜想通项公式,再将递推式变形、证明;
(Ⅱ)由不等关系an+1≤f(an)和(I)的思路启发,探求an的最值,从而过渡得到bn范围,再用求和公式证明不等式.
解答:解:(Ⅰ)a2=
2a1
1+a1
=
1
2
1+
1
2
=
2
3
a3=
4
5
a4=
8
9

归纳出an=
2n-1
2n-1+1
.…(2分)
证明:∵an+1=
2an
1+an

1
an+1
=
1
2an
+
1
2

1
an+1
-1=
1
2
(
1
an
-1)

{
1
an
-1}
是以
1
a1
-1
为首项,
1
2
为公比等比数列
.
1
an
-1=(
1
1
2
-1)•(
1
2
)n-1

an=
2n-1
2n-1+1
,故通项an是正确的.…(6分)
(Ⅱ)由an+1
2an
1+an
1
an+1
-1≥
1
2
(
1
an
-1)

1
an+1
-1
1
an
-1
1
2

1
a2
-1
1
a1
-1
1
2
1
a3
-1
1
a2
-1
1
2
,…,
1
an
-1
1
an-1
-1
1
2

累乘得
1
an
-1
1
a1
-1
≥(
1
2
)n-1

1
an
-1≥(
1
2
)n-1

an
1
(
1
2
)
n-1
+1
,故an
2n-1
2n-1+1
.…(10分)
bn=
an
2n+1
2n-1
(2n+1)(2n-1+1)
=
1
2n-1+1
-
1
2n+1
Tn
1
20+1
-
1
21+1
+
1
21+1
-
1
22+1
+…+
1
2n-1+1
-
1
2n+1
=
1
2
-
1
2n+1

Tn
1
2
-
1
2n+1.
…(13分)
点评:本题主要考查以函数作载体考查数列的综合交汇,也考查了推理与证明.数列综合题常作压轴题,根据递推关系推性质、求和及证不等式等,根据前几项猜想通项公式,是打开“思路闸门”的好方法,切记合理证明;在非等差、等比的数列中,常通过变形构造出新的等差、等比数列求解,此时注意新数列的首项、末项及公差(比);数列前项和与不等式的融合,常根据求和公式得到具体表达式,再适当放缩即可,有时需要对源头--通项进行放缩,以便求和及证明.
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知正项数列{an}满足:a1=3,(2n-1)an+2=(2n+1)an-1+8n2(n>1,n∈N*
(1)求证:数列{
an
2n+1
}
为等差数列,并求数列{an}的通项an
(2)设bn=
1
an
,求数列{bn}的前n项和为Sn,并求Sn的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

定义:称
n
a1+a2+…+an
为n个正数a1,a2,…,an的“均倒数”,已知正项数列{an}的前n项的“均倒数”为
1
2n
,则
lim
n→∞
nan
sn
(  )
A、0
B、1
C、2
D、
1
2

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知正项数列an中,a1=2,点(
an
an+1)
在函数y=x2+1的图象上,数列bn中,点(bn,Tn)在直线y=-
1
2
x+3
上,其中Tn是数列bn的前项和.(n∈N+).
(1)求数列an的通项公式;
(2)求数列bn的前n项和Tn

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知正项数列{an}满足a1=1,an+1=an2+2an(n∈N+),令bn=log2(an+1).
(1)求证:数列{bn}为等比数列;
(2)记Tn为数列{
1
log2bn+1log2bn+2
}
的前n项和,是否存在实数a,使得不等式Tn<log0.5(a2-
1
2
a)
对?n∈N+恒成立?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知正项数列{an},Sn=
1
8
(an+2)2

(1)求证:{an}是等差数列;
(2)若bn=
1
2
an-30
,求数列{bn}的前n项和.

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