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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知G是△ABC的重心，直线EF过点G且与边AB，AC分别交于E，F，
    AE
    =α
    AB
    ，
    AF
    =β
    AC
    ，求
    1
    α
    +
    1
    β
    的值．
    分析：利用三角形的重心的性质，用
    AB
     ， 
    AC
     表示出
    EF
    、
    GE
    ，根据
    EF
    ∥
    GE
    ，则得
    α
    3
    =β(α-
    1
    3
    )    ，
    解得
    1
    α
    +
    1
    β
    =3    ．
    解答：解：由题意可得 
    EF
    =
    AF
    -
    AE
    =-α
    AB
    +β
    AC
    ，由于G是△ABC的重心，设D为边BC的中点，
    则
    AG
    =
    2
    3
    AD
    =
    2
    3
    ×
    1
    2
    (
    AB
    +
    AC
    )=
    1
    3
    AB
    +
    1
    3
    AC
    ，∴
    GE
    =
    AE
    -
    AG
    =(α-
    1
    3
    )
    AB
    -
    1
    3
    AC
    ，
    ∵E，G，F三点共线 即
    EF
    ∥
    GE
    ，而
    AB
    ，
    AC
    不共线，可作为一组基底，则
    α
    3
    =β(α-
    1
    3
    )    ，
    解得
    1
    α
    +
    1
    β
    =3    ．
    点评：本题考查平面向量基本定理，三角形的重心的性质，用
    AB
     ， 
    AC
     表示出
    EF
    、
    GE
     是解题的关键．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知G是△ABC的重心，过G的一条直线交AB、AC两点分别于E、F，且有
    AE
    =λ
    AB
    ，
    AF
    =μ
    AC
    ，则
    1
    λ
    +
    1
    μ
    =
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知G是△ABC的重心，O是平面ABC外的一点，若λ
    OG
    =
    OA
    +
    OB
    +
    OC
    ，则λ=
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•自贡三模）已知G是△ABC的重心，且a
    GA
    +b
    GB
    +
    		3
    c
    GC
    =
    0
    ，其中a，b，c分别为角A、B、C的对边，则cosc=（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网（几何证明选讲选做题）已知G是△ABC的重心，AG交BC于E，BG交AC于F，△EFG的面积为1，则△EFC的面积为
     
    ．

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