Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=BB₁=a，直线B₁C与平面ABC成30°角．
（1）求证：平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁；
（2）求二面角B-B₁C-A的正切值．

Answer 1

分析：（1）根据三棱锥是一个直三棱锥得到侧棱与底面垂直，进而得到线与线垂直，根据面面垂直的判定定理得到线与面垂直．
（2）根据线面垂直得到∠BCB ₁为直线B₁C与平面ABC所成的角，由三垂线定理知AN⊥B₁C从而∠ANM为二面角B-B₁C-A的平面角，把平面角放到一个可解的三角形中，设出线段的长度，求出二面角的正切值．

解答：解：（1）三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱
∴AA₁⊥底面ABC
又∵AC?面ABC
∴AA₁⊥AC
又∵AC⊥AB，AB∩AA₁=A，
∴AC⊥平面ABB₁A₁
又∵AC?面B₁AC
∴平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁；
（2）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱
∴BB₁⊥底面ABC
∠BCB ₁为直线B₁C与平面ABC所成的角，即∠BCB ₁=30° 
过点A作AM⊥BC于M，过M作MN⊥B₁C于N，连接AN．
∴平面BB₁CC₁⊥平面ABC
∴AM⊥平面BB₁C₁C
由三垂线定理知AN⊥B₁C从而∠ANM为二面角B-B₁C-A的平面角．
设AB=BB₁=a
在Rt△B₁BC中，BC=BB₁ cot30=

3

a
在Rt△BAC中，由勾股定理知AC=

BC2-AB2

=

2

a
又∵AM=

a• 2 a

3 a

=

6 a

3

在Rt△AMC中，CM=

AC2-AM2

=

2 3 a

3

在Rt△MNC中，MN=

1

2

CM=

3 a

3

在Rt△AMN中，tan∠ANM=

AM

MN

=

2

即二面角B-B1C-A的正切值为

2

点评：本题考查面面垂直和求二面角的正切值，本题解题的关键是利用垂直的知识先做出二面角的平面角，把平面角放到一个可解的三角形中来解，符合一画二证三解的过程．