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如图,F是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的一个焦点,A,B是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率为
1
2
.点C在x轴上,BC⊥BF,B,C,F三点确定的圆M恰好与直线l1x+
3
y+3=0
相切.
(Ⅰ)求椭圆的方程:
(Ⅱ)过点A的直线l2与圆M交于PQ两点,且
MP
MQ
=-2
,求直线l2的方程.
(Ⅰ)∵F是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的一个焦点,A,B是椭圆的两个顶点,
椭圆的离心率为
1
2

c
a
=
1
2
,∴
c2
a2
=1-
b2
a2
=
1
4
,∴b=
3
2
a
,c=
1
2
a

设F(-c,0),B(0,
3
2
a
)=(0,
3
c
),
∵kBF=
b
c
=
3
,BC⊥BF,
∴kBC=-
3
3
,∴
b
xC
=
3
3
,∴xC=
3
b
=
3
2
a•
3
=
3
2
a
=3c,
∴C(3c,0),
设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
把B(0,
3
c
),C(3c,0),F(-c,0)代入,得:
3c2+
3
cE+F=0
9c2+3cD+F=0
c2-cD+F=0

解得D=-2c,E=0,F=-3c2
∴圆M的方程为(x-c)2+y2=4c2
∵圆M与直线l1:x+
3
y+3=0相切,
|1×c+
3
×0+3|
1+3
=2c
,解得c=1,
∴a=2,b=
3

∴所求的椭圆方程为
x2
4
+
y2
3
=1

(Ⅱ)∵A是椭圆方程为
x2
4
+
y2
3
=1
的左顶点,∴A(-2,0),
∵圆M的方程为(x-1)2+y2=1,
∴过点A斜率不存在的直线与圆不相交,
∴设直线l2的方程为y=k(x+2),
MP
MQ
=-2
,又|
MP
|=|
MQ
|=2,
∴cos<
MP
MQ
>=
MP
MQ
|
MP
|•|
MQ
|
=-
1
2

∴∠PMQ=120°,
圆心M到直线l2的距离d=
1
2
r=1

|k+2k|
k2+1
=1
,解得k=±
2
4

∴直线l2的方程为y=±
2
4
(x+2).
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

椭圆
x2
16
+
y2
9
=1
的左、右焦点分别为F1、F2,过焦点F1的直线交椭圆于A,B两点,若△ABF2的内切圆的面积为π.A,B两点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2),则|y2-y1|的值为______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知直线与椭圆
x2
9
+
y2
4
=1
交于A,B两点,设线段AB的中点为P,若直线的斜率为k1,直线OP的斜率为k2,则k1k2等于______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

直线l:y=k(x-
2
)
与双曲线x2-y2=1仅有一个公共点,则实数k的值为(  )
A.1B.-1C.1或-1D.1或-1或0

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知离心率为
6
3
的椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
与圆C:x2+(y-3)2=4交于A,B两点,且∠ACB=120°,C在AB上方,如图所示,
(1)求椭圆E的方程;
(2)是否存在过交点B,斜率存在且不为0的直线l,使得该直线截圆C和椭圆E所得的弦长相等?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),已知点(1,e)和(e,
3
2
)都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设A、B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线BF2平行,若|AF1|-|BF2|=
6
2
,求直线AF的斜率.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

一束光线从点(0,1)出发,经过直线x+y-2=0反射后,恰好与椭圆x2+
y2
2
=1
相切,则反射光线所在的直线方程为______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图所示,F1、F2分别为椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右两个焦点,A、B为两个顶点,已知椭圆C上的点(1,
3
2
)
到F1、F2两点的距离之和为4.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P、Q两点,求△F1PQ的面积.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
2
2
,右焦点为F(1,0).
(Ⅰ)求此椭圆的方程;
(Ⅱ)若过点F且倾斜角为
π
4
的直线与此椭圆相交于A,B两点,求|AB|的值.

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