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精英家教网如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=a,AC=2,AA1=1,点D在棱B1C1上且B1D:DC1=1:3
(1)证明:无论a为任何正数,均有BD⊥A1C;
(2)当a为何值时,二面角B-A1D-B1为60°.
分析:(1)由题意建立如图示的空间直角坐标系,学出各个点的坐标进利用向量的垂直证明了线线的垂直;
(2)利用方程的思想,先设出未知的变量,利用两个平面的法向量与平面所成的二面角的大小之间的关系建立方程进行求出变量的数值.
解答:解:(1)以A为坐标原点,建立空间直角坐标系A-xyz(如图),
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D(
3
4
a,
1
2
,1)
,A1(0,0,1),B(a,0,0),C(0,2,0),
BD
=(-
a
4
1
2
,1)
A1C
=(0,2,-1),
BD
A1C
=(-
a
4
1
2
,1)
•(0,2,-1)=0,∴
BD
A1C
,即BD⊥A1C.
故无论a为任何正数,均有BD⊥A1C.

(2)
A1D
=(
3
4
a,
1
2
,0),
A1B
=(a,0,-1)

设平面A1BD的一个法向量为
n
=(x,y,z),则
n
A1D
n
A1B

n
A1D
=
3
4
ax+
1
2
y=0
n
A1B
=ax-z=0
,即
y=-
3
2
ax
z=ax
,取
n
=(
1
a
,-
3
2
,1)

又平面A1B1D的一个法向量为
m
=(0,0,1)

cos?
m
n
>=
m
n
|
m
|•|
n
|
=
1
(
1
a
)
2
+(-
3
2
)
2
+1
=
1
1
a2
+
13
4

结合图形知?
m
n
与二面角B-A1D-B1相等,即?
m
n
>=60°

1
1
a2
+
13
4
=
1
2

解得a=
2
3
3

故当a=
2
3
3
时,二面角B-A1D-B1为60°.
点评:此题重点考查了利用空间向量的坐标表示法内容解决线线垂直的证明,还考查了二面角的大小与平面的法向量夹角之间的关系及利用方程的思想求解的方法.
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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA.

(I)求证:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值; 

(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离.

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科目:高中数学 来源:2011年四川省招生统一考试理科数学 题型:解答题

 

 (本小题共l2分)

    如图,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一[来源:]

P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA.

(I)求证:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;   

(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离.

 

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科目:高中数学 来源:2011年高考试题数学理(四川卷)解析版 题型:解答题

 (本小题共l2分)

    如图,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一

P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA.

(I)求证:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;   

(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离.

 

 

 

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科目:高中数学 来源:四川省高考真题 题型:解答题

如图,在直三棱柱AB-A1B1C1中,∠ BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1上一点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA。
(I)求证:CD=C1D;
(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离

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科目:高中数学 来源: 题型:

    如图,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA.

(I)求证:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;

(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离.

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