Question

P是以F₁、F₂为焦点的双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上的一点，已知

PF1

•

PF2

=0，|

PF1

|=2|

PF2

|．
（1）试求双曲线的离心率e；
（2）过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于P₁、P₂两点，当

OP1

•

OP2

=-

27

4

，2

PP1

+

PP2

=0，求双曲线的方程．

Answer 1

分析：（1）由|

PF1

|=2|

PF2

|，|

PF1

|-|

PF2

|=2a，得出|

PF1

|=4a，|

PF2

|=2a．再利用向量垂直的条件得到：（4a）²+（2a）²=（2c）²从而求双曲线的离心率e．
（2）由（1）知，双曲线的方程可设为

x2

a2

-

y2

4a2

=1，设P₁（x₁，2x₁），P₂（x₂，-2x₂），P（x，y）．利用向量的数量积得到：x1x2=

9

4

结合向量条件得出x，y的表达式，最后根据点P在双曲线上列出方程求得a²=2．从而得到双曲线的方程．

解答：解（1）∵|

PF1

|=2|

PF2

|，|

PF1

|-|

PF2

|=2a，∴|

PF1

|=4a，|

PF2

|=2a．
∵

PF1

•

PF2

=0，∴（4a）²+（2a）²=（2c）²，∴e=

c

a

=

5

．
（2）由（1）知，双曲线的方程可设为

x2

a2

-

y2

4a2

=1，渐近线方程为y=±2x．
设P₁（x₁，2x₁），P₂（x₂，-2x₂），P（x，y）．
∵

OP1

•

OP2

=-3x1x2=-

27

4

，∴x1x2=

9

4

．∵2

PP1

+

PP2

=0，∴

x= 2x1+x2 3 y= 2(2x1-x2) 3 .

∵点P在双曲线上，∴

(2x1+x2)2

9a2

-

(2x1-x2)2

9a2

=1．
化简得，x1x2=

9a2

8

．∴

9a2

8

=

9

4

．∴a²=2．∴双曲线的方程为

x2

2

-

y2

8

=1

点评：本题考查向量与双曲线的有关内容．近几年来向量与其他知识互相渗透成为一种时尚，特命此题正基于此．本题考查学生运用圆锥曲线定义灵活解题的能力、向量知识、运算能力．