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已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为3的球面上,且PA、PB、PC两两互相垂直,则三棱锥P-ABC的侧面积的最大值为
 
考点:棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
专题:空间位置关系与距离
分析:由已知,三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为3的球面上,且PA,PB,PC两两垂直,球直径等于以PA,PB,PC为棱的长方体的对角线,由基本不等式易得到三棱锥P-ABC的侧面积的最大值.
解答: 解:∵PA,PB,PC两两垂直,
又∵三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为3的球面上,
∴以PA,PB,PC为棱的长方体的对角线即为球的一条直径.
∴36=PA2+PB2+PC2
则由基本不等式可得PA2+PB2≥2PA•PB,PA2+PC2≥2PA•PC,PB2+PC2≥2PB•PC,
即36=PA2+PB2+PC2≥PA•PB+PB•PC+PA•PC
则三棱锥P-ABC的侧面积S=
1
2
(PA•PB+PB•PC+PA•PC)≤18,
则三棱锥P-ABC的侧面积的最大值为18,
故答案为:18
点评:本题考查的知识点是棱锥的侧面积,基本不等式,棱柱的外接球,其中根据已知条件,得到棱锥的外接球直径等于以PA,PB,PC为棱的长方体的对角线,是解答本题的关键.
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