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设有数列{an},若存在M>0,使得对一切自然数n,都有|an|<M成立,则称数列{an}有界,下列结论中:
①数列{an}中,an=,则数列{an}有界;
②等差数列一定不会有界;
③若等比数列{an}的公比满足0<q<1,则{an}有界;
④等比数列{an}的公比满足0<q<1,前n项和记为Sn,则{Sn}有界.
其中一定正确的结论有   
【答案】分析:①数列{an}中,an=,存在M=1>0,使得对一切自然数n,都有|an|<1成立;
②等差数列,若为常数列,则有界;
③若等比数列{an}的通项为an=,根据公比满足0<q<1,可得|an|<a1
④等比数列{an}的前n项和Sn=,根据公比满足0<q<1,可得|Sn|<
解答:解:①数列{an}中,an=,存在M=1>0,使得对一切自然数n,都有|an|<1成立,故数列{an}有界,故命题正确;
②等差数列,若为常数列,则有界,故命题不正确;
③若等比数列{an}的通项为an=,∵公比满足0<q<1,∴|an|<a1,∴{an}有界,故命题正确;
④等比数列{an}的前n项和Sn=,∵公比满足0<q<1,∴|Sn|<,∴{Sn}有界,故命题正确.
故答案为:①③④.
点评:本题考查命题真假的判断,考查数列的性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

设有数列{an},若存在M>0,使得对一切自然数n,都有|an|<M成立,则称数列{an}有界,下列结论中:
①数列{an}中,an=
1n
,则数列{an}有界;
②等差数列一定不会有界;
③若等比数列{an}的公比满足0<q<1,则{an}有界;
④等比数列{an}的公比满足0<q<1,前n项和记为Sn,则{Sn}有界.
其中一定正确的结论有
①③④
①③④

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科目:高中数学 来源: 题型:

AnBn分别表示数列{an}和{bn}的前n项和,对任何正整数nan=-,4Bn-12An=13n.

(1)求数列{bn}的通项公式;

(2)设有抛物线列C1C2,…,Cn,…,抛物线Cn(nN*)的对称轴平行于y轴,顶点为(an,bn),且通过点Dn(0,n2+1),过点Dn且与抛物线Cn相切的直线的斜率为kn,求极限.

(3)设集合X={x|x=2an,nN*},Y={y|y=4bn,nN*},若等差数列{Cn}的任一项Cn∈X∩Y,C1是X∩Y中的最大数,且-265<C10<-125,求{Cn}的通项公式.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

设有数列{an},若存在M>0,使得对一切自然数n,都有|an|<M成立,则称数列{an}有界,下列结论中:
①数列{an}中,an=
1
n
,则数列{an}有界;
②等差数列一定不会有界;
③若等比数列{an}的公比满足0<q<1,则{an}有界;
④等比数列{an}的公比满足0<q<1,前n项和记为Sn,则{Sn}有界.
其中一定正确的结论有______.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设有数列{},a1=,若以a1,a2,…,an为系数的二次方程an-1x2-anx+1=0(n∈N*n≥2)都有根αβ满足3α-αβ+3β=1.

(1)求证:{ -}为等比数列;

(2)求

(3)求的前n项和Sn.

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