Question

20．已知命题p：（x-3）（x+1）＜0，命题q：$\frac{x-2}{x-4}$＜0，命题r：a＜x＜2a，其中a＞0．若p∧q是r的充分条件，求a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出满足P，q成立的x的范围，求出p∧q的范围，根据集合的包含关系得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：由题可知，命题p：-1＜x＜3，
命题q：2＜x＜4，…..（2分）
故p∧q：2＜x＜3．…（4分）
根据a＞0，及p∧q是r的充分条件可知：$\left\{\begin{array}{l}a≤2\\ 3≤2a\end{array}\right.$；…（8分）
解得 $\frac{3}{2}≤a≤2$，
综上可知，a的取值范围是$\left\{{\left.a\right|}\right.\frac{3}{2}≤a≤2\left.{\;}\right\}$．…（10分）

点评 本题考查了充分必要条件，考查复合命题的判断，是一道基础题．