Question

已知函数，函数f（x）是函数g（x）的导函数．
（1）若a=1，求g（x）的单调减区间；
（2）若对任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，都有，求实数a的取值范围；
（3）在第（2）问求出的实数a的范围内，若存在一个与a有关的负数M，使得对任意x∈[M，0]时|f（x）|≤4恒成立，求M的最小值及相应的a值．

Answer 1

解：（1）当a=1时，g（x）=x³+2x²-2x，g′（x）=x²+4x-2 …（1分）
由g′（x）＜0解得-2-＜x＜-2+ …（2分）
∴当a=1时函数g（x）的单调减区间为 （-2-，2+）；…（3分）
（2）易知f（x）=g′（x）=x²+4x-2
依题意知 =a（）²+4×-2-
=-（x₁-x₂）²＜0 …（5分）
因为x₁≠x₂，所以a＞0，即实数a的取值范围是（0，+∞）；…（6分）
（3）易知f（x）=ax²+4x-2=a（x+）²-2-，a＞0．
显然f（0）=-2，由（2）知抛物线的对称轴x=-＜0 …（7分）
①当-2-＜-4即0＜a＜2时，M∈（-，0）且f（M）=-4
令ax²+4x-2=-4解得 x= …（8分）
此时M取较大的根，即M==…（9分）
∵0＜a＜2，∴M==＞-1 …（10分）
②当-2-≥-4即a≥2时，M＜-且f（M）=4
令ax²+4x-2=4解得 x= …（11分）
此时M取较小的根，即 M==…（12分）
∵a≥2，∴M==≥-3当且仅当a=2时取等号 …（13分）
由于-3＜-1，所以当a=2时，M取得最小值-3 …（14分）
分析：（1）求导数，利用导数小于0，可得函数的单调减区间．
（2）先用函数f（x）的表达式表示出来，再进行化简得-（x₁-x₂）²＜0，由此式即可求得实数a的取值范围；
（3）本小题可以从a的范围入手，考虑0＜a＜2与a≥2两种情况，结合二次的象与性质，综合运用分类讨论思想与数形结合思想求解．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．