Question

已知直线l：y=kx+1，椭圆E：

x2

9

+

y2

m2

=1(m＞0)．
（Ⅰ）若不论k取何值，直线l与椭圆E恒有公共点，试求出m的取值范围及椭圆离心率e关于m的函数关系式；
（Ⅱ）当k=

10

3

时，直线l与椭圆E相交于A，B两点，与y轴交于点M．若

AM

=2

MB

，求椭圆E的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由直线l恒过定点M（0，1），且直线l与椭圆E恒有公共点，知点M（0，1）在椭圆E上或其内部，得

02

9

+

12

m2

≤1(m＞0)，由此能求出求出m的取值范围及椭圆离心率e关于m的函数关系式．
（Ⅱ）由

y= 10 3 x+1 x2 9 + y2 m2 =1

，消去y得(m2+10)x2+6

10

x+9(1-m2)=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=-

6 10

m2+10

，x1x2=

9(1-m2)

m2+10

．M（0，1），由

AM

=2

MB

得x₁=-2x₂．由此得x2=

6 10

m2+10

．从而得到椭圆E的方程．

解答：解：（Ⅰ）∵直线l恒过定点M（0，1），且直线l与椭圆E恒有公共点，
∴点M（0，1）在椭圆E上或其内部，得

02

9

+

12

m2

≤1(m＞0)，
解得m≥1，且m≠3．（3分）
（联立方程组，用判别式法也可）
当1≤m＜3时，椭圆的焦点在x轴上，e=

9-m2

3

；
当m＞3时，椭圆的焦点在y轴上，e=

m2-9

m

．
∴e=

9-m2 3 (1≤m＜3) m2-9 m (m＞3)

（6分）
（Ⅱ）由

y= 10 3 x+1 x2 9 + y2 m2 =1

，消去y得(m2+10)x2+6

10

x+9(1-m2)=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=-

6 10

m2+10

①，x1x2=

9(1-m2)

m2+10

②．
∵M（0，1），∴由

AM

=2

MB

得x₁=-2x₂③．（9分）
由①③得x2=

6 10

m2+10

④．
将③④代入②得，-2(

6 10

m2+10

)2=

9(1-m2)

m2+10

，解得m²=6（m²=-15不合题意，舍去）．
∴椭圆E的方程为

x2

9

+

y2

6

=1．（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法和求出m的取值范围及椭圆离心率e关于m的函数关系式．解题时要认真审题，合理地进行等价转化，提高解题能力和解题技巧．