Question

7．已知函数f（x）=-x³+6x²-9x+8，则过点（0，0）可以作几条直线与曲线y=f（x）相切（　　）

• A． 3条
• B． 1条
• C． 0条
• D． 2条

Answer 1

分析 设切点为（m，n），则n=-m³+6m²-9m+8，求出函数的导数，求得切线的斜率，再由两点的斜率公式，解方程可得m的取值个数，即可判断切线的条数．

解答 解：设切点为（m，n），则n=-m³+6m²-9m+8，
f（x）=-x³+6x²-9x+8的导数为f′（x）=-3x²+12x-9，
则切线的斜率为k=-3m²+12m-9，
可得-3m²+12m-9=$\frac{n-0}{m-0}$=$\frac{-{m}^{3}+6{m}^{2}-9m+8}{m}$，
化简可得m³-3m²+4=0，
即有（m+1）（m-2）²=0，
解得m=-1或-2，
则切点有两个，故切线共有2条．
故选：D．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两点的斜率公式的运用，方程的解的个数，属于中档题．