Question

已知圆C的圆心在直线x-3y=0上，且圆C与x轴相切，若圆C截直线y=x得弦长为，求圆C的方程．

Answer 1

解：（方法一）设所求的圆的方程是（x-a）²+（y-b）²=r²，
则圆心（a，b）到直线x-y=0的距离为，∴
即2r²=（a-b）²+14①（2分）
由于所求的圆与x轴相切，∴r²=b²②（4分）
又圆心在直线3x-y=0上，∴3a-b=0③（6分）
联立①②③，解得a=1，b=3，r²=9或a=-1，b=3，r²=9（10分）
故所求的圆的方程是：（x-1）²+（y-3）²=9或（x+1）²+（y+3）²=9（12分）
（方法二）设所求的圆的方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0，则其圆心为，
半径为，令y=0得x²+Dx+F=0，由圆与x轴相切，
得△=0，即D²=4F④（2分）
又圆心到直线x-y=0的距离为，由已知得，
即（D-E）²+56=2（D²+E²-4F）⑤（4分）
又圆心在直线3x-y=0上，∴3D-E=0⑥（6分）
联立④⑤⑥，解得：D=-1，E=-6，F=1或D=2，E=6，F=1（10分）
故所求圆的方程是x²+y²-2x-6y+1=0或x²+y²+2x+6y+1=0（12分）
（方法三）由题，设所求圆的圆心为（3t，t），则其半径r=3|t|（4分）
方程为（x-t）²+（y-3t）²=9t²，圆心到直线x-y=0的距离为（6分）
∴，解得t=1或t=-1（10分）
故所求的圆的方程是：（x-1）²+（y-3）²=9或（x+1）²+（y+3）²=9（12分）
分析：法一：设出圆的方程，利用已知条件，推出2r²=（a-b）²+14①，r²=b²②，3a-b=0③解出a，b，r即可得到圆的方程．
法二：设出圆的一般方程，利用圆锥条件，求出D、E、F即可得到圆的方程．
法三：设所求圆的圆心为（t，3t），则其半径r=3|t|，方程为（x-t）²+（y-3t）²=9t²，圆心到直线x-y=0的距离为，求出t，解出圆的方程．
点评：本题是基础题，考查圆的方程的求法，标准方程与一般方程的应用，灵活设出圆的圆心坐标与半径，简化解题过程是最好的解题方法，考查计算能力．