Question

13．如图，这是一个半圆柱与多面体ABB₁A₁C构成的几何体，平面ABC与半圆柱的下底面共面，且AC⊥BC，P为$\widehat{{A}_{1}{B}_{1}}$上的动点．
（1）证明：PA₁⊥平面PBB₁；
（2）设半圆柱和多面体ABB₁A₁C的体积分别为V₁，V₂，且AC=BC，求V₁：V₂．

Answer 1

分析 （1）利用线面垂直的判定定理，即可证明结论；
（2）利用体积公式，求出半圆柱和多面体ABB₁A₁C的体积，即可求V₁：V₂．

解答 （1）证明：在半圆柱中，BB₁⊥平面PA₁B₁，所以BB₁⊥PA₁．
因为A₁B₁是底面圆的直径，所以PA₁⊥PB₁，因为PB₁∩BB₁=B₁，PB₁?平面PBB₁，
BB₁?平面PBB₁，所以PA₁⊥平面PBB₁．（6分）
（2）解：因为AC⊥BC，AC=BC，所以△ABC是等腰直角三角形，且AB²=BC²+AC²=2AC²．
所以半圆柱的体积V₁=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$AB）²π•AA₁=$\frac{π}{4}$AC²•AA₁．
多面体ABB₁A₁C是以矩形ABB₁A₁为底面，以C为顶点的四棱锥，其高为点C到底面ABB₁A₁的距离，设这个高为h，在Rt△ABC中，AB•h=AC•BC，所以h=$\frac{AC•BC}{AB}$，
所以V₂=$\frac{1}{3}$•AA₁•AB•$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{1}{3}$•AA₁•AC•BC=$\frac{1}{3}$AA₁•AC²．
所以$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$=$\frac{3π}{4}$．（14分）

点评 本题考查线面垂直的判定，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．