Question

【题目】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）= （0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（1）求k的值及f（x）的表达式．
（2）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为 ．

再由C（0）=8，得k=40，

因此 ．

而建造费用为C1（x）=6x，

最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为

（2）解： ，令f'（x）=0，即 ．

解得x=5， （舍去）．

当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为 ．

当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元

【解析】（1）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）= ，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C（0）=8，得k=40，进而得到 ．建造费用为C1（x）=6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．（2）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．