Question

20．已知圆C的圆心在直线x-2y=0上．
（1）若圆C与y轴的正半轴相切，且该圆截x轴所得弦的长为2$\sqrt{3}$，求圆C的标准方程；
（2）在（1）的条件下，直线l：y=-2x+b与圆C交于两点A，B，若以AB为直径的圆过坐标原点O，求实数b的值．

Answer 1

分析 （1）设圆心为（2a，a），通过圆C与y轴的正半轴相切，得到半径r=2a．利用该圆截x轴所得弦的长为2$\sqrt{3}$，列出方程求解即可．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韦达定理以及判别式，结合直线的斜率关系，即可求出b的值．

解答 解：（1）因为圆C的圆心在直线x-2y=0上，所以可设圆心为（2a，a）．
因为圆C与y轴的正半轴相切，所以a＞0，半径r=2a．
又因为该圆截x轴所得弦的长为2$\sqrt{3}$，
所以a²+（$\sqrt{3}$）²=（2a）²，解得a=1．…（2分）
因此，圆心为（2，1），半径r=2．
所以圆C的标准方程为（x-2）²+（y-1）²=4．…（4分）
（2）由直线l：y=-2x+b与圆C，消去y，得（x-2）²+（-2x+b-1）²=4．
整理得5x²-4bx+（b-1）²=0．（★）…（5分）
由△=（-4b）²-4×5（b-1）²＞0，得b²-10b+5＜0（※）…（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{4b}{5}$，x₁x₂=$\frac{（b-1）^{2}}{5}$    （7分）
因为以AB为直径的圆过原点O，可知x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（-2x₁+b）（-2x₂+b）=0．
化简得5x₁x₂-2b（x₁+x₂）+b²=0，即（b-1）²-2b•$\frac{4b}{5}$+b²=0．
整理得2b²-10b+5=0．解得b=$\frac{5±\sqrt{15}}{2}$．…（9分）
当b=$\frac{5±\sqrt{15}}{2}$时，2b²-10b+5=0，b²-10b+5=-b²．③
由③，得b≠0　从而b²-10b+5=-b²＜0
可见，b=$\frac{5±\sqrt{15}}{2}$时满足不等式（※）．b=$\frac{5±\sqrt{15}}{2}$均符合要求．…（10分）

点评 本题考查圆的方程的综合应用，圆的方程的求法，直线与圆的位置关系的综合应用，考查计算能力．