Question

6．已知函数$f（x）=2（x-1）{e^x}+m（\frac{{3{x^2}}}{2}-\frac{3}{2}）$，m≤2e²．
（Ⅰ）当$m=-\frac{1}{3}$时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若x≥1时，有f（x）≥mx²lnx恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得f（x），求导，根据函数单调性与导数的关系，即可求得f（x）的单调区间；
（Ⅱ）构造辅助函数，求导，m≤e时$u'（x）=\frac{{x{e^x}-m}}{x}≥0$恒成立，则由函数的单调性求得u（x）≥u（1）=e+m，根据m取取值范围，求得g（x）的最小值，m＞e时，$u'（1）=\frac{{x{e^x}-m}}{x}＜0$，由函数的单调性可知：g（x）在[1，+∞）单调递增，g（x）≥g（1）=0恒成立，即可求得m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当$m=-\frac{1}{3}$时，f（x）=2（x-1）e^x-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$，求导f'（x）=x（2e^x-1），--------（1分）
由f'（x）＞0，解得：x＜-ln2或x＞0，当f'（x）＜0，解得：-ln2＜x＜0--------------（3分）
∴f（x）在（-∞，-ln2），（0，+∞）上单调增，在（-ln2，0）上单调减，
∴f（x）单调递增区间（-∞，-ln2），（0，+∞），单调递减区间（-ln2，0）；--------（4分）
（Ⅱ）g（x）=f（x）-mx²lnx，g'（x）=2x（e^x+m（1-lnx），
$u（x）={e^x}+m（1-lnx），u'（x）=\frac{{x{e^x}-m}}{x}$，--------------（5分）
（1）m≤e时$u'（x）=\frac{{x{e^x}-m}}{x}≥0$恒成立，
则u（x）=e^x+m（1-lnx）在x≥1上单调递增，则u（x）≥u（1）=e+m------（6分）
?e+m≥0，则-e≤m≤e时，
u（x）≥0时，即g'（x）≥0，
∴g（x）在[1，+∞）单调递增，g（x）≥g（1）=0恒成立，----------（7分）
?e+m＜0时，存在x₀∈（1，+∞），u（x₀）=0，
∴x∈（1，x₀）时，u（x）＜0，即g'（x）＜0，g（x）在（1，x₀）上单调减，
g（x）＜g（1）=0（舍去）---（9分）
（2）m＞e时，$u'（1）=\frac{{x{e^x}-m}}{x}＜0$，
存在x₁∈（1，+∞），使${x_1}{e^{x_1}}=m$，$e＜{x_1}{e^{x_1}}≤2{e^2}$，
∴1＜x₁≤2，又u（x）在（x₁，+∞）上增，在（1，x₁）上减，
∴x=x₁时u（x）有最小值$u（{x_1}）={e^{x_1}}+m（1-ln{x_1}）＞0$，则即g'（x）≥0，
∴g（x）在[1，+∞）单调递增，g（x）≥g（1）=0恒成立----------------（11分）
综上：-e≤m≤2e²----------（12分）

点评 本题考查导数的综合应用，考查利用导数的函数的单调性及最值，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于中档题．