Question

已知双曲线与椭圆

x2

9

+

y2

4

=1有相同的焦点，它的一条渐近线为y=2x，求双曲线标准方程．

Answer 1

分析：先根据渐近线为y=2x设双曲线方程为x2-

y2

4

=λ（λ＞0），再化成双曲线标准方程得到a，b的值，最后结合双曲线与椭圆

x2

9

+

y2

4

=1有相同的焦点得出关于λ的方程，解之可得λ，从而得到双曲线的方程．

解答：解：设双曲线方程为x2-

y2

4

=λ（λ＞0），
则

x2

λ

-

y2

4λ

=1（4分），
又椭圆

x2

9

+

y2

4

=1的半焦距为

5

，
根据题意，得λ+4λ=5，解得λ=1，
所以双曲线方程为x2-

y2

4

=1（9分）

点评：本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查．解答的关键是弄清它们的不同点列出方程式求解．