Question

【题目】已知数列{an}的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n，都有（a1+a2+a3+…+an）2=a13+a23+a33+…+an3 ．
（1）写出数列{an}的前三项a1 ， a2 ， a3（请写出所有可能的结果）；
（2）是否存在满足条件的无穷数列{an}，使得a2017=﹣2016？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由；
（3）记an点所有取值构成的集合为An ， 求集合An中所有元素之和（结论不要证明）．

Answer 1

【答案】
（1）解：当n=1时，a13=a12，由a1≠0得a1=1．

当n=2时，1+a23=（1+a2）2，由a2≠0得a2=2或a2=﹣1．

当n=3时，1+a23+a33=（1+a2+a3）2，若a2=2得a3=3或a3=﹣2；若a2=﹣1得a3=1；

综上讨论，满足条件的数列有三个：1，2，3或1，2，﹣2或1，﹣1，1

（2）解：令Sn=a1+a2+…+an，则Sn2=a13+a23+…+an3（n∈N*）．

从而（Sn+an+1）2=a13+a23+…+an3+an+13，

两式相减，结合an+1≠0，得2Sn=an+12﹣an+1．

当n=1时，由（1）知a1=1；

当n≥2时，2an=2（Sn﹣Sn﹣1）=（an+12﹣an+1）﹣（an2﹣an），即（an+1+an）（an+1﹣an﹣1）=0，

所以an+1=﹣an或an+1=an+1．

又a1=1，a2017=﹣2016，所以无穷数列{an}的前2016项组成首项和公差均为1的等差数列，从第2016项开始组成首项为﹣2016，公比为﹣1的等比数列．

an=

（3）解：由（2）可知a1=1，an=﹣an﹣1或an=an﹣1+1（n≥2），

故A1={1}，A2={﹣1，2}，A3={1，﹣2，3}，A4={﹣1，2，﹣3，4}，…

∴当n为奇数时，An的所有元素之和为1+3+5+…+n﹣（2+4+6+…n﹣1）= ﹣ = ，

当n为偶数时，An的所有元素之和为2+4+6+…+n﹣（1+3+5+…+n﹣1）= ﹣ =

【解析】（1）利用数列递推式，n分别取1，2，3，代入计算，即可得到结论；（2）令Sn=a1+a2+…+an，Sn2=a13+a23+…+an3（n∈N*）．可得再写一式，两式相减，可得数列{an}的任一项an与它的前一项an﹣1间的递推关系；利用a1=1，a2017=﹣2016，所以无穷数列{an}的前2016项组成首项和公差均为1的等差数列，从第2016项开始组成首项为﹣2016，公比为﹣1的等比数列，从而可得数列的通项．（3）根据递推式得出An的所有元素规律，利用归纳法得出结论．