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数列的前项组成集合,从集合中任取个数,其所有可能的个数的乘积的和为(若只取一个数,规定乘积为此数本身),记.例如:当时,;当时,
(Ⅰ)求
(Ⅱ)猜想,并用数学归纳法证明.
(Ⅰ)63; (Ⅱ).

试题分析:(Ⅰ)通过列举进行计算;(Ⅱ)先从特殊入手,
时,
时,,所以
从特殊到一般探求之间的递推关系,从而便于用数学归纳法证明.
试题解析:(Ⅰ)当时,,所以
(Ⅱ)由
猜想,下面证明:
(1)易知时成立;
(2)假设
时,

(其中,为时可能的个数的乘积的和为),


也成立,
综合(1)(2)知对成立.
所以
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(1)求的值;
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,证明:

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(1)当时,求数列的通项公式;
(2)在(1)的条件下,证明对有:
(3)若,且对,有,证明:

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