Question

1．已知f（x）是R上的奇函数，且f（2）=0，若f（x）在（0，+∞）上为增函数，则不等式（x-3）f（x）＜0的解集为（　　）

• A． （2，3）
• B． （-2，3）
• C． （-2，0）∪（2，3）
• D． （-∞，3）

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行等价转化即可．

解答 解：∵奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，又f（2）=0，
∴函数f（x）在（-∞，0）上为增函数，且f（-2）=-f（2）=0，
∴函数f（x）的图象如图，
则不等式（x-3）f（x）＜0等价为$\left\{\begin{array}{l}{x＞3}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜3}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞3}\\{0＜x＜2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜3}\\{-2＜x＜0或x＞2}\end{array}\right.$，
即-2＜x＜0或2＜x＜3
即不等式的解集是（-2，0）∪（2，3），
故选：C．

点评 本题考查函数奇偶性与单调性的综合，是函数性质综合考查题，熟练掌握奇偶性与单调性的对应关系是解答的关键，利用数形结合是解决本题的关键．