Question

已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且C=2A，cosA=

3

4

．
（1）求c：a的值；
（2）求证：a，b，c成等差数列；
（3）若△ABC周长为30，∠C的平分线交AB于D，求△CBD的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由C=2A，得到sinC=sin2A，求出sinC与sinA之比，利用正弦定理求出c与a之比即可；
（2）由cosC=cos2A，把cosA的值代入求出cosC的值，进而求出sinC的值，由cosA的值求出sinA的值，利用两角和与差的正弦函数公式化简sin（A+C），把各自的值代入求出sin（A+C）的值，即为sinB的值，进而得到sinA+sinC=2sinB，利用正弦定理化简即可得证；
（3）由2b=a+c，且a+b+c=30，得到b=10，由c：a=3：2，得到a=8，c=12，过D作DE⊥AC，交AC于点E，由∠BCA=2∠A，且∠BCA的平分线交AB于点D，得到AD=CD，求出AE的长，在三角形ADE中求出AD的长，利用角平分线定理求出BD的长，利用三角形面积公式求出三角形BCD面积即可．

解答： 解：（1）∵C=2A，∴sinC=sin2A，
∴

sinC

sinA

=

2sinAcosA

sinA

=2cosA=

3

2

，
则由正弦定理得：c：a=sinC：sinA=3：2；
（2）∵cosC=cos2A=2cos²A-1=2×

9

16

-1=

1

8

，
∴sinC=

1-cos2C

=

3 7

8

，
∵cosA=

3

4

，∴sinA=

1-cos2A

=

7

4

，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=

5 7

16

，
∴sinA+sinC=

5 7

8

=2sinB，
利用正弦定理化简得：2b=a+c，
则a，b，c成等差数列；
（3）由2b=a+c，且a+b+c=30，得到b=10，
由c：a=3：2，得到a=8，c=12，
过D作DE⊥AC，交AC于点E，
∵∠BCA=2∠A，且∠BCA的平分线交AB于点D，
∴∠A=∠ACD，即AD=CD，
∴AE=

1

2

b=5，
∵cosA=

3

4

，AD=

20

3

，由角平分线定理得：

BD

AD

=

a

b

=

8

10

=

4

5

，
∴BD=

4

5

AD=

16

3

，
则S_△CBD=

1

2

×

16

3

×8×

5 7

16

=

20 7

3

．

点评：此题考查了余弦定理，等差数列的性质，同角三角函数间的基本关系，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．