Question

已知f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），若2，f（a₁），…，f（a_n），2n+4（n=1，2，3，…）成等差数列，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设{b_n}=a_nf（a_n），若数列{b_n}的前n项和是S_n，试求S_n；
（3）令c_n=a_nlga_n，问是否存在实数a，使得数列{c_n}中每一项恒小于它后面的项，若存在，请求出a的范围；，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设公差为d，则2n+4=2+（n+1）d，解得d=2，故f（a_n）=log_aa_n=2n+2，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由{b_n}=a_nf（a_n），知Sn=4a4+6a6+…+2(n+1)a2n+2，由错位相减法能求出S_n．
（3）cn=(2n+2)a2n+2lga，由c_n＜c_n+1，知（2n+2）lga＜（2n+4）a²lga恒成立，由此能够推导出存在a∈(0，

6

3

) ∪(1，+∞)，使得c_n＜c_n+1恒成立．

解答：解：（1）∵2，f（a₁），…，f（a_n），2n+4（n=1，2，3，…）成等差数列，
∴设公差为d，2n+4=2+（n+1）d，
∴d=2，
∴f（a_n）=log_aa_n=2n+2，
∴an=a2n+2．
（2）∵{b_n}=a_nf（a_n），

bn=a2n+2(2n+2)，Sn=4a4+6a6+…+2(n+1)a2n+2 ∴a2Sn=4a6+6a8+…+2(n+1)a2n+4 ∴(1-a2)Sn=2a4+2(a4+a6+…+a2n+2)-2(n+1)a2n+4 ∵a＞0，且a≠1 ∴Sn= 2[2a4-a6-(n+2)a2n+4+(n+1)a2n+6] (1-a2)2

（3）cn=(2n+2)a2n+2lga，
∵c_n＜c_n+1，
∴（2n+2）lga＜（2n+4）a²lga恒成立，
当a＞1，上式恒成立；
当0＜a＜1时，a2＜

2n+2

2n+4

=

n+1

n+2

=1-

1

n+2

，
∴a2＜

2

3

，
∴0＜a＜

6

3

，
∴存在a∈(0，

6

3

) ∪(1，+∞)，使得c_n＜c_n+1恒成立．

点评：本题考查数列通项公式的求法和数列前n项和公式的计算，探索是否存在实数a，使得数列{c_n}中每一项恒小于它后面的项，若存在，请求出a的范围；若不存在，请说明理由．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．