【题目】已知双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1 , F2 , P为双曲线右支上一点(异于右顶点),△PF1F2的内切圆与x轴切于点(2,0),过F2作直线l与双曲线交于A,B两点,若使|AB|=b2的直线l恰有三条,则双曲线离心率的取值范围是( )
A.(1, )
B.(1,2)
C.( ,+∞)
D.(2,+∞)
【答案】C
【解析】解:点P是双曲线右支上一点,
由双曲线的定义,可得|PF1|﹣|PF2|=2a,
若设三角形PF1F2的内切圆心在横轴上的投影为K(x,0),
该点也是内切圆与横轴的切点.
设L、M分别为内切圆与PF1、PF2的切点.
考虑到同一点向圆引的两条切线相等:
则有:PF1﹣PF2=(PL+LF1)﹣(PM+MF2)
=LF1﹣MF2=KF1﹣F2K
=(c+x)﹣(c﹣x)
=2x=2a,即x=a,
所以内切圆的圆心横坐标为a.
由题意可得a=2,
再由过F2作直线l与双曲线交于A,B两点,若使|AB|=b2的直线l恰有三条,
可得与双曲线的两支各有一个交点的有两条(关于x轴对称),还有一条为过F2垂直于x轴的直线,
即有b2= 且b2>2a,即b>2,c= >2 ,
则e= > ,
故选:C.
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【题目】已知函数f(x)是偶函数,f(x+1)是奇函数,且对任意的x1 , x2∈[0,1],且x1≠x2 , 都有(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<0,设a=f( ),b=﹣f( ),c=f( ),则下列结论正确的是( )
A.a>b>c
B.b>a>c
C.b>c>a
D.c>a>b
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【题目】一个总体中有600个个体,随机编号为001,002,…,600,利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本,总体分组后在第一组随机抽得的编号为006,则在编号为051~125之间抽得的编号为( )
A.056,080,104
B.054,078,102
C.054,079,104
D.056,081,106
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【题目】已知函数f(x)=sin2x﹣ .
(I)求函数f(x)的值域;
(II)已知锐角△ABC的两边长分别是函数f(x)的最大值和最小值,且△ABC的外接圆半径为 ,求△ABC的面积.
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【题目】在直角坐标系中,已知圆圆心为,过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点、.
()求的取值范围;
()是否存在常数,使得向量与共线?如果存在,求值;如果不存在,请说明理由.
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【题目】某工程设备租赁公司为了调查A,B两种挖掘机的出租情况,现随机抽取了这两种挖掘机各100台,分别统计了每台挖掘机在一个星期内的出租天数,统计数据如下表: A型车挖掘机
出租天数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
车辆数 | 5 | 10 | 30 | 35 | 15 | 3 | 2 |
B型车挖掘机
出租天数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
车辆数 | 14 | 20 | 20 | 16 | 15 | 10 | 5 |
(Ⅰ)根据这个星期的统计数据,将频率视为概率,求该公司一台A型挖掘机,一台B型挖掘机一周内合计出租天数恰好为4天的概率;
(Ⅱ)如果A,B两种挖掘机每台每天出租获得的利润相同,该公司需要从A,B两种挖掘机中购买一台,请你根据所学的统计知识,给出建议应该购买哪一种类型,并说明你的理由.
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【题目】已知x=﹣3,x=1是函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的两个相邻的极值点,且f(x)在x=﹣1处的导数f'(﹣1)>0,则f(0)=( )
A.0
B.
C.
D.
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【题目】已知右焦点为F的椭圆C: + =1(a>b>0)过点M(1, ),直线x=a与抛物线L:x2= y交于点N,且 = ,其中O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l与椭圆C交于A、B两点.
①若直线l与x轴垂直,过点P(4,0)的直线PB交椭圆C于另一点E,证明直线AE与x轴相交于定点;
②已知D为椭圆C的左顶点,若l与直线DM平行,判断直线MA,MB是否关于直线FM对称,并说明理由.
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