Question

【题目】已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1 ， F2 ， P为双曲线右支上一点（异于右顶点），△PF1F2的内切圆与x轴切于点（2，0），过F2作直线l与双曲线交于A，B两点，若使|AB|=b2的直线l恰有三条，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A.（1， ）
B.（1，2）
C.（ ，+∞）
D.（2，+∞）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：点P是双曲线右支上一点，

由双曲线的定义，可得|PF1|﹣|PF2|=2a，

若设三角形PF1F2的内切圆心在横轴上的投影为K（x，0），

该点也是内切圆与横轴的切点．

设L、M分别为内切圆与PF1、PF2的切点．

考虑到同一点向圆引的两条切线相等：

则有：PF1﹣PF2=（PL+LF1）﹣（PM+MF2）

=LF1﹣MF2=KF1﹣F2K

=（c+x）﹣（c﹣x）

=2x=2a，即x=a，

所以内切圆的圆心横坐标为a．

由题意可得a=2，

再由过F2作直线l与双曲线交于A，B两点，若使|AB|=b2的直线l恰有三条，

可得与双曲线的两支各有一个交点的有两条（关于x轴对称），还有一条为过F2垂直于x轴的直线，

即有b2= 且b2＞2a，即b＞2，c= ＞2 ，

则e= ＞ ，

故选：C．