Question

(本小题满分14分)

已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足，．数列满足，为数列的前n项和．

（1）求、和；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）（法一）在中，令，，

得   即       ……………………………………2分

解得，，                        ………………………………………3分

．

，

．        ……………………5分

（法二）是等差数列，

．                …………………………2分

由，得 ，                        

又，，则．               ………………………3分

(求法同法一)

（2）①当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．       …………………………………6分

 ，等号在时取得．           

此时 需满足．                …………………………………………7分

②当为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．        …………………………………8分

 是随的增大而增大， 时取得最小值．

此时 需满足．                …………………………………………9分

综合①、②可得的取值范围是．   …………………………………………10分

（3），

 若成等比数列，则，即．…11分

（法一）由，　　可得，

即，   　　　                …………………………………12分

．                     ……………………………………13分

又，且，所以，此时．

因此，当且仅当， 时，数列中的成等比数列．…………14分

（法二）因为，故，即，

，（以下同上）．    …………………………………………13分

【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质，以及数列的求和、利用均值不等式求最值等知识；考查了学生的函数思想方法，及其推理论证和探究的能力．