Question

已知函数f（x）=ax²+bx+12
（1）若f（x）=ax²+bx+12＜0的解集是{x|3＜x＜4}，求a，b的解集；
（2）若g(x)=

f(x)

x

(x＞0，a＞0)，求g（x）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题可知f（x）=ax²+bx+12=0的两根分别为3和4，根据韦达定理求得a，b的解集．
（2）由于x＞0，利用基本不等式求得g（x）的取值范围．

解答：解：（1）由题可知f（x）=ax²+bx+12=0的两根分别为3和4．
根据韦达定理可得

3+4=- b a 3×4= 12 a

，解得

a=1 b=-7

，所以a={1}，b={-7}．
（2）由于x＞0，故g(x)=

f(x)

x

=

ax2+bx+12

x

=ax+b+

12

x

≥4

3a

+b，
当且仅当ax=

12

x

即x=

2 3a

a

时等号成立．
即g（x）的取值范围为[4

3a

+b，+∞)．

点评：本题主要考查一元二次不等式的解法，基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件，属于基础题．