Question

（A题） （奥赛班做）有三个信号监测中心A、B、C，A位于B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°，相距4千米．在A测得一信号，4秒后，B、C才同时测得同一信号，试建立适当的坐标系，确定信号源P的位置（即求出P点的坐标）．（设该信号的传播速度为1千米/秒，图见答卷）

Answer 1

分析：由于B、C同时发现信号，则P在线段BC的中垂线上，又由A、B两舰发现信号的时间差为4秒，知|PB|-|PA|=4，从而P在双曲线的右支上，所以可确定P的坐标，从而问题得解．

解答：解：取A、B所在直线为x轴，线段AB的中点O为原点，
建立直角坐标系．则A、B、C的坐标为
A（ 3，0 ）、B （-3，0 ）、C （-5，2

3

），（长度单位为千米）．
由已知|PB|-|PA|=4，所以点P在以A、B为焦点，
实轴长为4的双曲线的右支上，
其方程为

x2

4

-

y2

5

=1（x≥2）①
又B、C同时测得同一信号，即有|PB|=|PC|
∴点P又在线段BC的中垂线上，
其方程为y-

3

=

3

3

(x+4)，
即 y=

3

3

(x+7)②
由①、②解得：

x=8 y=5 3

，
∴得点P的坐标为 （ 8，5

3

）．

点评：本题主要考查从实际问题中构建数学模型，考查双曲线的定义、轨迹方程的求解，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力．