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如题19图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1的下底面ABCD是边长为a的正方形,AA1=a,且点A1在下底面ABCD上的射影恰为D点.
(I)证明:B1D⊥面A1CB;
(II)求二面角A1-BC-B1的大小.

【答案】分析:(I) 由已知,点A1在下底面ABCD上的射影恰为D点,点B1在下底面ABCD上的射影恰为C点.易证BC⊥面B1DC,得出BC⊥B1D,再根据,又AA1=a,AD=a,求出A1D=a,判断出A1B1CD为正方形,再得出 B1D⊥A1C,且BC∩A1C=C,于是B1D⊥面A1CB;
(Ⅱ)法一:在(I)的基础上,已有BC⊥面B1DC,∴BC⊥B1C,BC⊥A1C,∴∠B1CA1为二面角A1-BC-B1的 平面角,设A1C∩B1D=O,利用sin∠B1CA1==,求得∠B1CA1=45°;
法二:以D点为原点,建立空间直角坐标系,分别求出平面A1BC的法向量为,平面B1BC的法向量为 ,利用<的夹角求出二面角A1-BC-B1的大小.
解答:解:(I)∵点A1在下底面ABCD上的射影恰为D点,∴点B1在下底面ABCD上的射影恰为C点.
即B1C⊥面ABCD,∴B1C⊥BC 又BC⊥CD,BC⊥面B1DC,∴BC⊥B1D,又AA1=a,AD=a,
∴A1D=a,即A1B1CD为正方形,∴B1D⊥A1C,∴B1D⊥面A1CB.
(II)法一:BC⊥面B1DC,∴BC⊥B1C,BC⊥A1C,∴∠B1CA1为二面角A1-BC-B1的 平面角,
设A1C∩B1D=O,则B1C=A1D=a  B1D=a,∴B1O=,∴sin∠B1CA1==,∠B1CA1=45°,
∴二面角A1-BC-B1的大小是45°.
法二:建立空间直角坐标系如图所示,

则A1(0,0,a),B1(0,a,a),B(a,a,0),C(0,a,0)
=(0,a,-a)    =(-a,0,0)=(0,0,-a)
设平面A1BC的法向量为=(x,y,z,)则
令y=1,得=(0,1,1)
设平面B1BC的法向量为 =(x′,y′,z′),则
令y′=1,得=(0,1,0)
cos<>==,<>=45°,又二面角A1-BC-B1的为锐二面角,所以其大小为45°.
点评:本题考查直线和平面垂直关系,二面角求解,考查转化的思想方法(空间问题平面化)空间想象能力,计算能力.利用空间向量的知识,则使问题论证与求解演变成了代数运算,降低了思维难度,使人们解决问题更加方便.
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