Question

如图所示，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=PC=AC=1，BC=2，∠ACB=120°，AB⊥PC．
①求证：平面PAC⊥平面ABC；
②求三棱锥A-MBC的体积．

Answer 1

分析：①由∠PCB=90°，得PC⊥CB，又AB⊥PC，利用线面垂直的判定可以证明PC⊥平面ABC，继而得到面面垂直；
②由PC⊥平面ABC，根据面面垂直的判定可得面ABC⊥面PVBM，再由两面垂直的性质定理可得三棱锥A-MBC的高，解直角三角形求出三棱锥A-MBC的高，则体积可求．

解答：①证明：∵∠PCB=90°，∴PC⊥CB，又PC⊥AB，且AB∩BC=B，∴PC⊥平面ABC，又PC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面ABC；
②∵PC⊥平面ABC，PC?平面PCBM，∴平面PCBM⊥平面ABC，
如图，
在平面ABC中过A作AD垂直于BC的延长线与D，则AD⊥平面PCBM，则AD为三棱锥A-MBC的高，
∵∠ACB=120°，∴∠ACD=60°，在直角三角形ADC中，AD=ACsin60°=1×

3

2

=

3

2

．
又S_△BMC=S_{四边形PCBM}-S_△MPC=

1

2

(PM+BC)•PC-

1

2

PM•PC=

1

2

(1+2)×1-

1

2

×1×1=1．
∴VA-MBC=

1

3

S△BMC•AD=

1

3

×1×

3

2

=

3

6

．
所以，三棱锥A-MBC的体积为

3

6

．

点评：本题主要考查了直线与平面、平面与平面垂直的判定和性质，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．