Question

3．已知圆心为C的圆过点A（-2，2），B（-5，5），且圆心在直线l：x+y+3=0上
（Ⅰ）求圆心为C的圆的标准方程；
（Ⅱ）过点M（-2，9）作圆的切线，求切线方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先设出圆的标准方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，然后把A和B的坐标代入到圆方程中得到①和②，又因为圆心在直线x+y+3=0上，所以代入得到③，联立①②③，求出a，b，r的值即可得到圆的方程．
（Ⅱ）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求过点M（-2，9）作圆的切线的切线方程．

解答 解：（Ⅰ）设圆的标准方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，根据已知条件可得
（-2-a）²+（2-b）²=r²，①
（-5-a）²+（5-b）²=r²，②
a+b+3=0，③
联立①，②，③，解得a=-5，b=2，r=3．
所以所求圆的标准方程为（x+5）²+（y-2）²=9．
（Ⅱ）直线的斜率存在时，设方程为y-9=k（x+2），即kx-y+2k+9=0，
圆心C（-5，2）到切线的距离d=$\frac{|-5k-2+2k+9|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=3，∴k=$\frac{20}{21}$，
∴直线方程为20x-21y+229=0，
直线的斜率不存在时，即x=-2也满足题意，
综上所述，所求切线方程为x=-2或20x-21y+229=0．

点评 考查学生会利用待定系数法求函数的解析式，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．