Question

设函数.
（1）若函数图像上的点到直线距离的最小值为，求的值；
（2）关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；
（3）对于函数定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数的
“分界线”.设，试探究是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程，若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）
（2）
（3）

试题分析：解：(1)因为,得:    2分
则点到直线的距离为
即                  4分
（2）法1：由题意可得不等式恰有三个整数解，
所以                                           6分
令，由
函数的一个零点在区间内，
则另一个零点在区间内                              8分
所以                          10分
法2：恰有三个整数解，所以，即   6分

 
又                                       8分
 
                                       10分
（3）设则
可得，
所以当，
则的图像在处有公共点              12分
设存在分界线，方程为
由，恒成立，
即化为恒成立
由                                 14分
下面证明，
令
可得
所以恒成立，
即恒成立
 所求分界线为：                            16分
点评：主要是考查了导数在研究函数中的运用，属于基础题。