Question

求证:过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.

已知:点P直线a.

求证:过点P与直线a平行的直线有且只有一条.

Answer 1

解析:利用平面几何知识证明存在性,利用反证法证明唯一性.

证明:∵Pa,∴点P和直线a确定一个平面,设该平面为α.

在平面α内,利用平面几何的知识过P作直线b,使得b∥a.则过点P有一条直线与a平行.

假设过点P还有一条直线c与a平行,

∵a∥b,a∥c,∴b∥c.

这与b、c相交于点P矛盾,故假设不成立.

∴过P只有一条直线与a平行.

综上所述,过点P与a平行的直线有且只有一条.

小结:(1)在数学中,“有一个”通常称为存在性，“只有一个”称为唯一性.证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，就是既要证明存在性又要证明唯一性.

(2)本例说明了过直线外一点存在一条直线和该直线平行,并且这条直线是唯一的.