Question

（2011•湖南模拟）已知函数f（x）=（a-1）x+aln（x-2），（a＜1）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设a＜0时，对任意x₁、x₂∈（2，+∞），

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜-4恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对函数求导，讨论a的正负，利用导函数与函数单调性的关系进行求解即可．
（2）根据当a＜0时，f（x）在（2，+∞）上递减，不妨设任意x₁，x₂∈（2，+∞）且x₁＜x₂，将条件可变为f（x₁）+4x₁＞f（x₂）+4x₂，令g（x）=f（x）+4x，根据单调性将a分离出来，转化成a＜-3+

3

x-1

在（2，+∞）上恒成立，求出-3+

3

x-1

的最小值即可求出a的范围．

解答：解：（1）∵f′（x）=（a-1）+

a

x-2

=

(a-1)x-a+2

x-2

（1分）
①a＜0时，f′（x）=

(a-1)(x- a-2 a-1 )

x-2

∵

a-2

a-1

-2=

-a

a-1

＜0，∴0＜

a-2

a-1

＜2，∴x＞2时，f′（x）＜0
∴f（x）在（2，+∞）上递减．（3分）
②a=0时，f（x）=-x，在（2，+∞）上递减．（4分）
③0＜a＜1时，

a-2

a-1

＞2
∴x∈（2，

a-2

a-1

）时，f′（x）＞0，f（x）在（2，

a-2

a-1

）上递增；
当x∈（

a-2

a-1

，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（

a-2

a-1

，+∞）上递减；（6分）
∴综上所述，当a≤0时，f（x）在（2，+∞）上递减，
当0＜a＜1时，f（x）在（2，

a-2

a-1

）上递增，在（

a-2

a-1

，+∞）上递减．（7分）
（2）当a＜0时，f（x）在（2，+∞）上递减；
不妨设任意x₁，x₂∈（2，+∞）且x₁＜x₂

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜-4可变为f（x₁）-f（x₂）＞-4（x₁-x₂）
f（x₁）+4x₁＞f（x₂）+4x₂
∴令g（x）=f（x）+4x，∴g（x）在（2，+∞）上递减
∴g′（x）＜0在（2，+∞）上恒成立
∴a-1+

a

x-2

+4＜0在（2，+∞）上恒成立．
a＜-3+

3

x-1

在（2，+∞）上恒成立
而-3＜-3+

3

x-1

＜0，∴a≤-3．（13分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及不等式恒成立问题，同时考查了分类讨论的思想、转化与划归的思想，属于中档题．