【题目】已知函数f(x)=x3﹣ (k+1)x2+3kx+1,其中k∈R.
(1)当k=3时,求函数f(x)在[0,5]上的值域;
(2)若函数f(x)在[1,2]上的最小值为3,求实数k的取值范围.
【答案】
(1)解:k=3时,f(x)=x3﹣6x2+9x+1,
则f′(x)=3x2﹣12x+9=3(x﹣1)(x﹣3),
令f′(x)=0得x1=1,x2=3,列表如下:
x | 0 | (0,1) | 1 | (1,3) | 3 | (3,5) | 3 |
f′(x) | + | 0 | ﹣ | 0 | + | ||
f(x) | 1 | 单调递增 | 5 | 单调递减 | 1 | 单调递增 | 21 |
由上表知函数f(x)的值域为[1,21]
(2)解:方法一:f′(x)=3x2﹣3(k+1)x+3k=3(x﹣1)(x﹣k)
①当k≤1时,x∈[1,2],f'(x)≥0,函数f(x)在区间[1,2]单调递增
所以
即 (舍)
②当k≥2时,x∈[1,2],f'(x)≤0,函数f(x)在区间[1,2]单调递减
所以f(x)min=f(2)=8﹣6(k+1)+3k2+1=3
符合题意
③当1<k<2时,
当x∈[1,k)时,f'(x)<0f(x)区间在[1,k)单调递减
当x∈(k,2]时,f'(x)>0f(x)区间在(k,2]单调递增
所以
化简得:k3﹣3k2+4=0
即(k+1)(k﹣2)2=0
所以k=﹣1或k=2(舍)
注:也可令g(k)=k3﹣3k2+4
则g′(k)=3k2﹣6k=3k(k﹣2)
对k∈(1,2),g′(k)≤0,
g(k)=k3﹣3k2+4在k∈(1,2)单调递减
所以0<g(k)<2不符合题意
综上所述:实数k取值范围为k≥2
方法二:f′(x)=3x2﹣3(k+1)x+3k=3(x﹣1)(x﹣k)
①当k≥2时,x∈[1,2],f'(x)≤0,
函数f(x)在区间[1,2]单调递减
所以f(x)min=f(2)=8﹣6(k+1)+3k2+1=3
符合题意
②当k≤1时,x∈[1,2],f'(x)≥0,
函数f(x)在区间[1,2]单调递增
所以f(x)min<f(2)=3不符合题意
③当1<k<2时,
当x∈[1,k)时,f'(x)<0f(x)区间在[1,k)单调递减,
当x∈(k,2]时,f'(x)>0f(x)区间在(k,2]单调递增,
所以f(x)min=f(k)<f(2)=3不符合题意,
综上所述:实数k取值范围为k≥2
【解析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的方程,求出函数的单调区间,求出函数的值域即可;(2)法一(二):通过讨论k的范围,求出函数的最小值,结合函数f(x)在[1,2]上的最小值为3,求出k的范围即可.
【考点精析】关于本题考查的函数的最大(小)值与导数,需要了解求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其最大的是一个最大值,最小的是最小值才能得出正确答案.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】一个地区共有5个乡镇,共30万人,其人口比例为3∶2∶5∶2∶3,从这30万人中抽取一个300人的样本,分析某种疾病的发病率.已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关,则应采取什么样的抽样方法?并写出具体过程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知 为△ 所在平面外一点,且 , , 两两垂直,则下列结论:① ;② ;③ ;④ .其中正确的是( )
A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①②③④
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【题目】已知函数f(x)=alnx﹣(a+2)x+x2 .
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若对于任意a∈[4,10],x1 , x2∈[1,2],恒有| |≤ 成立,试求λ的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=lnx+ax2﹣ax,其中a∈R.
(1)当a=0时,求函数f(x)在x=1处的切线方程;
(2)若函数f(x)在定义域上有且仅有一个极值点,求实数a的取值范围;
(3)若对任意x∈[1,+∞),f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知两个定点 ,动点P满足 .设动点P的轨迹为曲线E,直线 .
(1)求曲线E的轨迹方程;
(2)若l与曲线E交于不同的C,D两点,且 (O为坐标原点),求直线l的斜率;
(3)若 是直线l上的动点,过Q作曲线E的两条切线QM,QN,切点为M,N,探究:直线MN是否过定点.
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