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【题目】已知函数f(x)=x3 (k+1)x2+3kx+1,其中k∈R.
(1)当k=3时,求函数f(x)在[0,5]上的值域;
(2)若函数f(x)在[1,2]上的最小值为3,求实数k的取值范围.

【答案】
(1)解:k=3时,f(x)=x3﹣6x2+9x+1,

则f′(x)=3x2﹣12x+9=3(x﹣1)(x﹣3),

令f′(x)=0得x1=1,x2=3,列表如下:

x

0

(0,1)

1

(1,3)

3

(3,5)

3

f′(x)

+

0

0

+

f(x)

1

单调递增

5

单调递减

1

单调递增

21

由上表知函数f(x)的值域为[1,21]


(2)解:方法一:f′(x)=3x2﹣3(k+1)x+3k=3(x﹣1)(x﹣k)

①当k≤1时,x∈[1,2],f'(x)≥0,函数f(x)在区间[1,2]单调递增

所以

(舍)

②当k≥2时,x∈[1,2],f'(x)≤0,函数f(x)在区间[1,2]单调递减

所以f(x)min=f(2)=8﹣6(k+1)+3k2+1=3

符合题意

③当1<k<2时,

当x∈[1,k)时,f'(x)<0f(x)区间在[1,k)单调递减

当x∈(k,2]时,f'(x)>0f(x)区间在(k,2]单调递增

所以

化简得:k3﹣3k2+4=0

即(k+1)(k﹣2)2=0

所以k=﹣1或k=2(舍)

注:也可令g(k)=k3﹣3k2+4

则g′(k)=3k2﹣6k=3k(k﹣2)

k∈(1,2),g′(k)≤0,

g(k)=k3﹣3k2+4在k∈(1,2)单调递减

所以0<g(k)<2不符合题意

综上所述:实数k取值范围为k≥2

方法二:f′(x)=3x2﹣3(k+1)x+3k=3(x﹣1)(x﹣k)

①当k≥2时,x∈[1,2],f'(x)≤0,

函数f(x)在区间[1,2]单调递减

所以f(x)min=f(2)=8﹣6(k+1)+3k2+1=3

符合题意

②当k≤1时,x∈[1,2],f'(x)≥0,

函数f(x)在区间[1,2]单调递增

所以f(x)min<f(2)=3不符合题意

③当1<k<2时,

当x∈[1,k)时,f'(x)<0f(x)区间在[1,k)单调递减,

当x∈(k,2]时,f'(x)>0f(x)区间在(k,2]单调递增,

所以f(x)min=f(k)<f(2)=3不符合题意,

综上所述:实数k取值范围为k≥2


【解析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的方程,求出函数的单调区间,求出函数的值域即可;(2)法一(二):通过讨论k的范围,求出函数的最小值,结合函数f(x)在[1,2]上的最小值为3,求出k的范围即可.
【考点精析】关于本题考查的函数的最大(小)值与导数,需要了解求函数上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值比较,其最大的是一个最大值,最小的是最小值才能得出正确答案.

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