Question

设a＞2，给定数列{xn}，其中x 1=a，xn+1=

x 2 n

2(xn-1)

(n∈N*)求证：
（1）x_n＞2，且x_n+1＜x_n（n∈N*）；
（2）如果2＜a≤3，那么xn≤2+

1

2n-1

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）使用数学归纳法证明x_n＞2，证题时采用作差法即可；证明x_n+1＜x_n，利用作商法与1比较即可；
（2）利用（1）先证明xn+1-2=

(xn-2)2

2(xn-1)

=

1

2

(xn-2)(

xn-2

xn-1

)＜

1

2

(xn-2)(n∈N*)，再采用放缩法即可证得．

解答：证明：（1）使用数学归纳法证明x_n＞2
当n=1时，x₁=a＞2命题成立；
假设当n=k（k∈N^*）时命题成立，即x_k＞2，且x_k+1＜x_k．
当n=k+1时，xk+1-2=

x 2 k

2(xk-1)

-2=

(xk -2)2

2(xk-1)

＞0
即x_k+1＞2
综上对一切n∈N^*，有x_n＞2．（4分）
当x_n＞2时，

xn+1

xn

=

xn

2(xn-1)

=

1

2(1- 1 xn )

＜

1

2(1- 1 2 )

=1
∴x_n+1＜x_n（n∈N^*）（6分）
（2）因为x_n＞2，所以

xn-2

xn-1

=1-

1

xn-1

∈(0，1)．
故xn+1-2=

(xn-2)2

2(xn-1)

=

1

2

(xn-2)(

xn-2

xn-1

)＜

1

2

(xn-2)(n∈N*)（10分）
由此可得xn-2≤

1

2

(xn-1-2)≤

1

22

(xn-2-2)≤…≤(x1-2)

1

2n-1

=(a-2)

1

2n-1

，
∴xn≤2+

a-2

2n-1

当2＜a≤3时，xn≤2+

1

2n-1

(n∈N*)（12分）

点评：本题考查不等式的证明，考查数学归纳法，放缩法，解题时要根据数学归纳法的证题步骤证明．