Question

16．已知数列{a_n}满足a₁=1，na_n+1=2（a₁+a₂+…+a_n），求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 通过na_n+1=2（a₁+a₂+…+a_n）与（n+1）a_n+2=2（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1）作差、整理可知$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{n+2}{n+1}$，进而利用累乘法计算即得结论．

解答 解：∵na_n+1=2（a₁+a₂+…+a_n），
∴（n+1）a_n+2=2（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1），
两式相减得：（n+1）a_n+2-na_n+1=2a_n+1，
整理得：$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{n+2}{n+1}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n-1}$，$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n-1}{n-2}$，…，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{1}$，
累乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{n}{1}$，
又∵a₁=1，
a_n=n．

点评 本题考查考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．