【题目】已知函数.
(Ⅰ) 若函数有零点, 求实数的取值范围;
(Ⅱ) 证明:当时,
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.
【解析】试题分析:(I)求导,利用导数的符号变换研究函数的单调性和极值,再通过极值的符号进行求解;(II)将不等式恒成立问题转化为分别求两端函数的最值问题,再利用导数进行求解.
试题解析: (Ⅰ)函数的定义域为.
由, 得.
因为,则时, ; 时, .
所以函数在上单调递减, 在上单调递增. 当时, . 当, 即 时, 又, 则函数有零点.
所以实数的取值范围为.
(Ⅱ) 要证明当时, ,
即证明当时, , 即
令, 则.
当时, ;当时, .
所以函数在上单调递减, 在上单调递增.
当时, . 于是,当时, ①
令, 则.
当时, ;当时, .
所以函数在上单调递增, 在上单调递减.
当时, . 于是, 当时, ②
显然, 不等式①、②中的等号不能同时成立.
故当时, .
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【题目】某厂每日生产一种大型产品1件,每件产品的投入成本为2000元.产品质量为一等品的概率为,二等品的概率为,每件一等品的出厂价为10000元,每件二等品的出厂价为8000元.若产品质量不能达到一等品或二等品,除成本不能收回外,没生产一件产品还会带来1000元的损失.
(1)求在连续生产3天中,恰有一天生产的两件产品都为一等品的的概率;
(2)已知该厂某日生产的2件产品中有一件为一等品,求另一件也为一等品的概率;
(3)求该厂每日生产该种产品所获得的利润(元)的分布列及数学期望.
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【题目】某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图所示.
(1)求直方图中x的值;
(2)求月平均用电量的众数和中位数;
(3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?
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【题目】若函数f(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数,且满足f(x)﹣g(x)=ex , 则有( )
A.f(2)<f(3)<g(0)
B.g(0)<f(3)<f(2)
C.f(2)<g(0)<f(3)
D.g(0)<f(2)<f(3)
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【题目】已知f(x)= (a,b为常数)是定义在(﹣1,1)上的奇函数,且f( )=
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)用定义证明f(x)在(﹣1,1)上是增函数并求值域;
(3)求不等式f(2t﹣1)+f(t)<0的解集.
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【题目】在直角坐标系中,设椭圆的焦点为,过右焦点的直线与椭圆相交于两点,若的周长为短轴长的倍.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设的斜率为,在椭圆上是否存在一点,使得?若存在,求出点的坐标.
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【题目】已知函数y=x+ 有如下性质:如果常数t>0,那么该函数在(0, ]上是减函数,在[ ,+∞)上是增函数.
(1)若f(x)=x+ ,函数在(0,a]上的最小值为4,求a的值;
(2)对于(1)中的函数在区间A上的值域是[4,5],求区间长度最大的A(注:区间长度=区间的右端点﹣区间的左断点);
(3)若(1)中函数的定义域是[2,+∞)解不等式f(a2﹣a)≥f(2a+4).
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