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设Z1是虚数,Z2=Z1+
1
Z1
是实数,且-1≤Z2≤1.
(1)求|Z1|的值以及Z1的实部的取值范围;
(2)若ω=
1-Z1
1+Z1
.求证ω为纯虚数.
考点:复数代数形式的乘除运算
专题:数系的扩充和复数
分析:(1)设z1=a+bi,(a,b∈R,且b≠0),则z2=z1+
1
z1
=(a+
a
a2+b2
)+(b-
b
a2+b2
),由z1是实数,得a2+b2=1,由此求出z1的实部的取值范围为[-
1
2
1
2
].
(2)ω=
1-Z1
1+Z1
=
1-a-bi
1+a+bi
=
1-a2-b2-2bi
(1+a)2+b2
=
b
a+1
i
,由此能证明ω=
1-Z1
1+Z1
是纯虚数.
解答: (1)解:设z1=a+bi,(a,b∈R,且b≠0),
z2=z1+
1
z1
=a+bi+
1
a+bi

=(a+
a
a2+b2
)+(b-
b
a2+b2
)i,
∵z2是实数,b≠0,∴a2+b2=1,即|z1|=1,且z2=2a,
由-1≤z2≤1,得-1≤2a≤1,解得-
1
2
≤a≤
1
2

即z1的实部的取值范围为[-
1
2
1
2
].
(2)证明:ω=
1-Z1
1+Z1
=
1-a-bi
1+a+bi
=
1-a2-b2-2bi
(1+a)2+b2
=
b
a+1
i

∵a∈[-
1
2
1
2
],b≠0,
∴ω=
1-Z1
1+Z1
是纯虚数.
点评:本题考查复数的实部的取值范围的求法,考查纯虚数的证明,解题时要注意复数的代数形式的乘除运算法则的合理运用.
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