Question

3．如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，∠A₁AC=60°．
（1）求侧棱BA₁与平面ABC所成的角；
（2）已知点D满足$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$，在直线AA₁上的点P，满足DP∥平面AB₁C，求二面角B-CP-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）求线面所成角，作A₁O⊥AC于点O，A₁O⊥平面ABC．∠A₁BO为所求角，由此能求出侧棱BA₁与平面ABC所成的角．
（2）以O为坐标原点建立坐标系，设出P（0，y，z），利用OP∥平面AB₁C，求出P（0，y，z）坐标的值，进而求得二面角两个半平面的法向量$\overrightarrow{n_1}=（1，\sqrt{3}，1）$，$\overrightarrow{n_2}=（\sqrt{3}，0，0）$，通过法向量夹角求得二面角．

解答 解：（1）∵侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，作A₁O⊥AC于点O，
∴A₁O⊥平面ABC．
∴∠A₁BO为所求角，（2分）
又∠ABC=∠A₁AC=60°，且各棱长都相等，
∴AO=1，$O{A_1}=OB=\sqrt{3}$，
∴∠A₁BO=45°（4分）
（2）以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
则A（0，-1，0），$B（\sqrt{3}，0，0）$，${A_1}（0，0，\sqrt{3}）$，C（0，1，0），
∵$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$，而$\overrightarrow{BA}=（{-\sqrt{3}，-1，0}），\overrightarrow{BC}=（{-\sqrt{3}，1，0}）$．
∴$\overrightarrow{BD}=（-2\sqrt{3}，0，0）$
又$B（\sqrt{3}，0，0）$，∴点D的坐标为$D（-\sqrt{3}，0，0）$．
假设存在点P符合题意，则点P的坐标可设为P（0，y，z），∴$\overrightarrow{DP}=（\sqrt{3}，y，z）$．
设面AB₁C的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₀，y₀，z₀），
∵$\overrightarrow{AC}=（0，2，0），\overrightarrow{A{B_1}}=（\sqrt{3}，2，\sqrt{3}）$
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=2{y}_{0}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=\sqrt{3}{x}_{0}+2{y}_{0}+\sqrt{3}{z}_{0}=0}\end{array}\right.$，取z₀=1，得$\overrightarrow{n}$=（-1，0，1），
∵$\overrightarrow{DP}$∥面AB₁C，∴$\overrightarrow{DP}⊥\overrightarrow{n}$，∴$\overrightarrow{DP}$$•\overrightarrow{n}$=-$\sqrt{3}+z=0$，∴z=$\sqrt{3}$，
又$\overrightarrow{AP}=（0，y+1，\sqrt{3}），\overrightarrow{A{A_1}}=（0，1，\sqrt{3}）$，
由$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{A{A_1}}$，得$\left\{\begin{array}{l}y+1=λ\\ \sqrt{3}=λ\sqrt{3}\end{array}\right.$，∴$y=0∴P（0，0，\sqrt{3}）$．
即P恰好为A₁点．即是求二面角B-CA₁-A，
设面BA₁C的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），
∵$\overrightarrow{{A_1}B}=（\sqrt{3}，0，-\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{BC}=（-\sqrt{3}，1，0）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=\sqrt{3}{x}_{1}-\sqrt{3}{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=-\sqrt{3}{x}_{1}+{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，令x₁=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，1），
而面A₁AC的法向量$\overrightarrow{p}$=（$\sqrt{3}$，0，0），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{p}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{p}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{p}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴二面角的余弦值为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查线面角的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．