Question

已知函数f(x)＝x²＋ax＋b，g(x)＝e^x(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.
(1)求a，b，c，d的值；
(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．

Answer 1

（1）a＝4，b＝2，c＝2，d＝2
（2）[1，e²]

(1)∵曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，
∴b＝d＝2.
∵f′(x)＝2x＋a，故f′(0)＝a＝4.
∵g′(x)＝e^x(cx＋d＋c)，
∴g′(0)＝2＋c＝4，故c＝2.
从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.
(2)令F(x)＝kg(x)－f(x)，则F′(x)＝(ke^x－1)(2x＋4)，
由题设可得F(0)≥0，故k≥1，
令F′(x)＝0得x₁＝－ln k，x₂＝－2，
①若1≤k＜e²，则－2＜x₁≤0，
从而当x∈[－2，x₁)时，F′(x)＜0，
当x∈(x₁＋∞)时，F′(x)＞0，
即F(x)在[－2，＋∞)上最小值为F(x₁)＝2x₁＋2－x₂²－4x₁－2＝－x₁(x₁＋2)≥0，此时f(x)≤kg(x)恒成立；
②若k＝e²，F′(x)＝(e^x＋2－1)(2x＋4)，
故F(x)在[－2，＋∞)上单调递增，
因为F(－2)＝0，所以f(x)≤kg(x)恒成立；
③若k＞e²，则F(－2)＝－2ke^－2＋2＝－2e^－2(k－e²)＜0，
从而当x∈[－2，＋∞)时，
f(x)≤kg(x)不可能恒成立．
综上所述k的取值范围为[1，e²]．