Question

已知函数f(x)=3ax²+2bx+c,a+b+c=0,且f(0)·f(1)>0.
(1)求证:-2<<-1.
(2)若x₁,x₂是方程f(x)=0的两个实根,求|x₁-x₂|的取值范围.

Answer 1

(1)见解析  (2) [,)

(1)当a=0时,f(0)=c,f(1)=2b+c,
又b+c=0,
则f(0)·f(1)=c(2b+c)=-c²<0与已知矛盾.
因而a≠0,则f(0)·f(1)=c(3a+2b+c)
=-(a+b)(2a+b)>0,
即(+1)(+2)<0,从而-2<<-1.
(2)x₁,x₂是方程f(x)=0的两个实根,
则x₁+x₂=-,x₁x₂=-,
那么(x₁-x₂)²=(x₁+x₂)²-4x₁x₂
=(-)²+4×=·()²+·+
=(+)²+.
∵-2<<-1,
∴≤(x₁-x₂)²<,
∴≤|x₁-x₂|<.
即|x₁-x₂|的取值范围是[,).