Question

（本小题满分14分）

已知数列中，,, 为该数列的前项和，且.

(1)求数列的通项公式；

（2）若不等式对一切正整数都成立，求正整数的最大值，并证明结论．

 

Answer 1

【答案】

 (1) ；

(2).当时，，即，所以．而是正整数，所以取。

【解析】本试题主要是考查了数列的通项公式的求解，和数列与不等式的综合运用。

（1）根据的，得到前n项和与通项公式的的关系，然后整体化简求解得到其通项公式的求解。

（2）不等式对一切正整数都成立，可以从特殊值入手，求解参数a的范围，然后分析得到结论。

解：(1) 

     ………1分

     又             ………3分

构成以2为首项，以1为公差的等差数列。

                               ………6分

(2).当时，，即，      

所以．                                     ………7分

而是正整数，所以取，下面用数学归纳法证明：．

（1）当时，已证；                      ………8分

（2）假设当时，不等式成立，即．   ………9分

则当时，

有

 ………11分

因为

即>        所以．

所以当时不等式也成立．          

 由（1）（2）知，对一切正整数，都有，………13分

所以的最大值等于25．          ………14分