Question

设函数f(x)的定义域为R，当x＞0时，f(x)＞1，且对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)·f(y)．

(Ⅰ)求证：f(0)＝1；

(Ⅱ)求证：f(x)在R上是增函数；

(Ⅲ)设集合A＝{(x，y)|f(x²)·f(y²)＜f(1)}，B＝{(x，y)|f(x＋y＋c)＝1，c∈R}，若A∩B＝，求c的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)证明：为使f(x＋y)＝f(x)·f(y)中出现f(0)，设x＝0，y＝1． 　　则f(0＋1)＝f(0)·f(1)，∴f(1)＝f(0)·f(1)，∵x＞0时，f(x)＞1， 　　∴f(1)＞1，∴f(0)＝1． 　　(Ⅱ)证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2－x1＞0， 　　f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)·f(x2－x1)，∵f(x2－x1)＞1， 　　若x1＞0则f(x1)＞1＞0；若x1＝0则f(x1)＝1＞0； 　　当x1＜0时，有f(x1)·f(－x1)＝f(x1－x1)＝f(0)＝1． 　　又∵f(－x1)＞1，∴0＜f(x1)＜1，∴对一切x1∈R，有f(x1)＞0， 　　∴f(x2)＝f(x1)·f(x2－x1)＞f(x1)，故命题得证． 　　(Ⅲ)∵f(x2)·f(y2)＜f(1)，∴f(x2＋y2)＜f(1)，∴x2＋y2＜1． 　　B：由单调性知f(x＋y＋c)＝f(0)，∴x＋y＋c＝0． 　　∵A∩B＝，∴由图形分析知：只要圆x2＋y2＝1与直线x＋y＋c＝0相离或相切， 　　∴≥1，∴c≥或c≤－．