Question

选修4-4：坐标系与参数方程
已知圆锥曲线

x=2cosθ y= 3 sinθ

（θ为参数）和定点A（0，

3

），F₁，F₂是左右焦点．
（Ⅰ）求经过点F₁垂直于直线AF₂的直线L的参数方程．
（Ⅱ） 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF₂的极坐标方程．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数中的平方关系消去参数θ，将圆锥曲线化为普通方程，从而求出其焦点坐标，再利用直线的斜率求得直线L的倾斜角，最后利用直线的参数方程形式，即可得到直线L的参数方程．
（2）设P（ρ，θ）是直线AF₂上任一点，利用正弦定理列出关于ρ、θ的关系式，化简即得直线AF₂的极坐标方程．

解答：解：（1）圆锥曲线

x=2cosθ y= 3 sinθ

，化为普通方程得

x2

4

+

y2

3

=1，
所以焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），
∴直线AF₂的斜率k=

3 -0

0-1

=-

3

因此，经过点F₁垂直于直线AF₂的直线L的斜率k₁=-

1

k

=

3

3

，直线L的倾斜角为30°
所以直线L的参数方程是

x=-1+tcos30° y=tsin30°

，即

x=-1+ 3 2 t y= 1 2 t

（t为参数）．（6分）
（2）直线AF₂的斜率k=-

3

，倾斜角是120°，
设P（ρ，θ）是直线AF₂上任一点，
则

ρ

sin60°

=

1

sin(120°-θ)

，即ρsin（120°-θ）=sin60°，
化简得

3

ρcosθ+ρsinθ=

3

所以直线AF₂的极坐标方程是

3

ρcosθ+ρsinθ-

3

=0．（10分）

点评：本小题主要考查简单曲线的极坐标方程、直线的参数方程、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．