Question

设数列{

1

an

}是等比数列，S_n是{a_n}的前n项和，若a₁=1，a₂a₃a₄=64．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）当数列{S_n+λ}也是等比数列时，求λ的值．

Answer 1

考点：等比数列的前n项和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）易得数列{a_n}也是等比数列，由题意易得公比q=±2，分别可得通项公式；
（2）当q=2时，S_n+λ=2•2^n-1+λ-1，当且仅当λ-1=0即λ=1时为等比数列；同理当q=-2时可得λ=-

1

3

，综合可得．

解答： 解：（1）∵数列{

1

an

}是等比数列，∴数列{a_n}也是等比数列，
设数列{a_n}的公比为q，则a₃³=a₂a₃a₄=64，解得a₃=4，
∴q²=

a3

a1

=4，解得q=±2，
当q=2时，a_n=2^n-1；当q=-2时，a_n=（-2）^n-1；

（2）当q=2时，S_n+λ=

1-2n

1-2

+λ=2•2^n-1+λ-1，
当且仅当λ-1=0即λ=1时数列{S_n+λ}是2为首项2为公比的等比数列；
同理当q=-2时，S_n+λ=

1-(-2)n

1-(-2)

+λ=

2

3

•（-2）^n-1+λ+

1

3

，
当且仅当λ+

1

3

=0即λ=-

1

3

时数列{S_n+λ}是

2

3

为首项-2为公比的等比数列，
∴λ的值为1或-

1

3

．

点评：本题考查等比数列的求和公式和性质，涉及分类讨论的思想，属中档题．